第二章真题分类专练
题组1 等式性质与不等式性质
1.(浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同。已知三个房间的粉刷面积(单位:平方米)分别为x,y,z,且x A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz 答案：B 解析：用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用料刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B。 2.(四川高考)若a>b>0,c 解析：由c ?? ?? ?? ?? ???? 1 1 ?? ?? ???? ???????? B.?? ???? 题组2 基本不等式及其应用 3.(湖南高考)若实数a,b满足??+??=√????,则ab的最小值为( )。 A.√2 B.2 C.2√2 D.4 答案：C 解析：由已知得+= ????12??+2?? ???? 12 =√????,且a>0,b>0, ∴ab√????=b+2a≥2√2√????,∴ab≥2√2。 4.(2017·天津高考)若a,b∈R,ab>0,则答案：4 解析：因为ab>0,所以且ab=时取等号,故 21 ??4+4??4+1 ???? ??4+4??4+1 ???? 的最小值为 。 ≥2√4??4??4+14??2??2+1 ???? =???? =4ab+????≥2√4????·????=4,当且仅当a=2b, 11 22 ??4+4??4+1 ???? 的最小值是4。 5.(山东高考)定义运算“最小值为 。 答案：√2 解析：因为x>0,y>0,所以x即x=√2y时等号成立。故x”:xy= ??2-??2???? (x,y∈R,xy≠0)。当x>0,y>0时,xy+(2y) x的 y+(2y) y+(2y) x= ??2-??24??2-??2??2+2??21?????? + 2???? = 2???? =2(??+ 2?? )≥√2,当且仅当??=??,?? ??2?? x的最小值为√2。 6.(2017·山东高考)若a>0,b>0,+=1,则2a+b的最小值为 。 ???? 11 答案：8 解析：方法一 由已知得+=1,则2a+b=(2a+b)·(+)=4++,因为a>0,b>0,所以+≥????????????????2√· ???? 4???? 12 1 2 ??4?? ??4?? =4,故2a+b≥8,当且仅当=且+=1,即a=2,b=4时等号成立。 ?? ?? ???? 12 2 2 (√2+√2)2??+?? 2 ??4??12 方法二 由已知得??+??=1,则1=2??+??≥,所以2a+b≥8,当且仅当2a=b且??+??=1,即 12 a=2,b=4时等号成立。 7.(重庆高考)设a,b>0,a+b=5,则√??+1+√??+3的最大值为 。 答案：3√2 解析：(√??+1+√??+3)=a+b+4+2√??+1·√??+3≤9+2·7 2 (√??+1)+(√??+3) 2 3 22 =9+a+b+4=18,所以 所以√??+1+√??+3√??+1+√??+3≤3√2,当且仅当a+1=b+3且a+b=5,即a=2,b=2时等号成立。的最大值为3√2。 8.(湖北高考)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为:F=??2+18??+20??。 (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/时; 答案：1 900 解析：F1= 76 000 ??76 000?? ??+ 20×6.05≤76 0002√121+18=1 900,当且仅当v= 20×6.05 ?? ,即v=11时等号成立。 (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/时。 答案：100 解析：F2= 76 000 20×5??++18 ?? ≤276 000√=2 000,当且仅当v=100+1820×5?? ,即v=10时等号成立,2 000-1 900=100。 9.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年 的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 。 答案：30 解析：一年购买 600?? 次,则总运费与总存储费用之和为 600?? ×6+4x=4( 900?? +??)≥8√ 900?? ·??=240,当 且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30。 3 10.(福建高考)要制作一个容积为4 m,高为1 m的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 元。 答案：160 3 解析：设该容器的总造价为y元,长方体的底面矩形的长为x m,因为无盖长方体的容积为4 m,高为1 m,所以长方体的底面矩形的宽为?? m,依题意,得y=20×4+10(2??+ 4 4 4 2×4?? )=80+20(??+??)≥ 4 80+20×2√??×??=160(当且仅当x=??,即x=2时取等号),所以该容器的最低总造价为160元。 题组3 二次函数与一元二次方程、不等式问题 11.(广东高考)不等式-x-3x+4>0的解集为 。 答案：{x|-4 2 解析：-x-3x+4>0?(x+4)(x-1)<0?-4 2
2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式真题分类专练一课一练(含解析)人教A版必修一
