2从而cosB?(2sinB)，即cos2B?41?cos2B，故cosB?22??4. 5因为sinB?0，所以cosB?2sinB?0，从而cosB?25. 5因此sin?B???π?25. ?cosB??2?516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推
理论证能力.满分14分.
证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1， 所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础
知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因为DF1=
553，AF2⊥x轴，所以DF2=DF12?F1F22?()2?22?， 222因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
2222
由b=a-c，得b=3.
x2y2因此，椭圆C的标准方程为??1.
43（2）解法一：
x2y2由（1）知，椭圆C：??1，a=2，
43因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
22
将x=1代入圆F2的方程(x-1)+y=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
?y?2x?2由?，得5x2?6x?11?0， 22?(x?1)?y?16解得x?1或x??将x??11. 51112代入y?2x?2，得 y??， 5511123因此B(?,?).又F2(1，0)，所以直线BF2：y?(x?1).
5543?y?(x?1)??1342. x?由?2，得，解得或x??17x?6x?13?027?x?y?1?3?4又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x??1. 将x??1代入y?解法二：
333(x?1)，得y??.因此E(?1,?). 422x2y2由（1）知，椭圆C：??1.如图，连结EF1.
43因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A. 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
?x??13?因为F1(-1，0)，由?x2y2，得y??.
2?1??3?4又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y??因此E(?1,?).
3. 23218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学
知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：
（1）过A作AE?BD，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE?BE?AC?6, AE?CD?8.' 因为PB⊥AB，
所以cos?PBD?sin?ABE?所以PB?84?. 105BD12??15.
cos?PBD45因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD?AE2?ED2?10，
AD2?AB2?BD27??0，所以∠BAD为锐角. 从而cos?BAD?2AD?AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半
径，点P符合规划要求.
?AB，由（1）知，P1B=15， 设P1为l上一点，且PB1此时PD?PB?PB11sin?PBD11cos?EBA?15?3?9； 5?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，
CQ?22此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. QA?AC?152?62?32.1综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，?3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为?直线PB的方程为y??3. 44， 3425x?. 3322所以P（?13，9），PB?(?13?4)?(9?3)?15. 因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3）， 所以线段AD：y??3x?6(?4剟x4). 4215?15?222在线段AD上取点M（3，），因为OM?3????3?4?5，
4?4?所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
?AB，由（1）知，P1B=15，此时P1（?13，9）； 设P1为l上一点，且PB1?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），
22由AQ?(a?4)?(9?3)?15(a?4)，得a=4?321，所以Q（4?321，9），此时，线段QA
上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（?13，9），Q（4?321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ?4?321?(?13)?17?321.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17?321（百米）.
19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理
能力．满分16分．
解：（1）因为a?b?c，所以f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)． 因为f(4)?8，所以(4?a)?8，解得a?2． （2）因为b?c，
33
2024年江苏卷数学高考真题
