高中数学必修4 平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：
???①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的
uuuruuur?起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法 AB，a；坐标表示法
uuur?，记作|AB|即向量的大小，a?xi?yj?(x,y) 向量的大小即向量的模（长度）
?记作｜a｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
??②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向
rr???量a＝0?｜a｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在
有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
??向量a0为单位向量?｜a0｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
??移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为
??a?b大小相等，方向相同
?x?x2(x1,y1)?(x2,y2)??1 y?y2?12向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法 ruuuruuuruuurruuurr?ruuu设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC ?????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一
个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?BC?CD?L?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
?? ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 ?记作?a,零向量的相反向量仍是零向量 ???????关于相反向量有： （i）?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0；
?????????(iii)若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0 ????②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， ????记作：a?b?a?(?b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法
??????③作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起
点） 4实数与向量的积：
??①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）?a???a；
????（Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的方向与a??的方向相反；当??0时，?a?0，方向是任意的 ??②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：
????向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a 6平面向量的基本定理：
??如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
??????a，有且只有一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算 （2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点
例1 给出下列命题：
rrrr① 若|a|＝|b|，则a=b；
uuuruuur② 若A，B，C，D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边
形的充要条件；
rrrrrr③ 若a=b，b=c，则a=c， ④
ra=
rb的充要条件是|
ra|=|
rb|且
ruuurrrruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrrrrrrruuuababbcacAB?DC|AB|?|DC|AB//DCAB//DC|AB|?|DC|AB?DCabruuuruuuruuuruuuruuurrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrruuuabbcbcacacababababababb0AB?BC?CDDB?AC?BDuuuruuuruuuruuur?OA?OC?OB?COuuuruuuruuurruuuruuur(DB?BD)?AC?0?AC?ACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurruuurrrrrrrrrrrrr(OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?ABabcabdabcdcduuuruuuruuuruuuruuuruuur(AB?BC)?CD?AC?CD?ADrrrrrrrrrrr?k???0cdababab0ab??k??1面向量的坐标表示
1?k??0?1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个
rrr单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示
rrrrr成a?xi?yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，
rr记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2平面向量的坐标运算：
rrrr(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?
uuur(2) 若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?
rr(3) 若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)
rrrr(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0 rrrr(5) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2
rr若a?b，则x1?x2?y1?y2?0
3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运几何方法 坐标方法 运算性质 算类型 向 1平行四边形法则 rr????a?b?(x1?x2,y1?y2) a?b?b?a 量 2三角形法则 的 ??????(a?b)?c?a?(b?c) 加 uuuruuuruuur法 AB?BC?AC 向 三角形法则 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 ????rra?b?(x1?x2,y1?y2) a?b?a?(?b) uuuruuurAB??BA uuuruuuruuurOB?OA?AB ?a是一个向量, 满足: ???>0时,?a与a同向; ???<0时,?a与a异向; ???=0时, ?a=0 ??a?(?x,?y) ?(?a)?(??)a ???(???)a??a??a ?????(a?b)??a??b ??????a∥b?a??b 向 ??a?b是一个数 量 的 ????a?0或b?0时, 数 量 ??a?b=0 积 ????a?0且b?0时, rra?b?x1x2?y1y2 ????a?b?b?a ??????(?a)?b?a?(?b)??(a?b) ???????(a?b)?c?a?c?b?c ???a2?|a|2,|a|?x2?y2 ??????????a?b?|a||b|cos?a,b? |a?b|?|a||b| rrrrrrrrrr例1 已知向量a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b，v?2a?b，且u//v，求实数x的
值 rrrrrrrr解：因为a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b，v?2a?b
rr所以u?(1,2)?2(x,1)?(2x?1,4)，v?2(1,2)?(x,1)?(2?x,3)
rr又因为u//v
所以3(2x?1)?4(2?x)?0，即10x?5
1解得x?
2例2已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标 uuuruuur解：设P(x,y)，则OP?(x,y),AP?(x?4,y) 因为P是AC与OB的交点
所以P在直线AC上，也在直线OB上
uuuruuuruuuruuur即得OP//OB,AP//AC
uuuruuur由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC?(?2,6),OB?(4,4)
?6(x?4)?2y?0得方程组?
4x?4y?0??x?3解之得?
?y?3故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)
三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：
rrrrrr已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·b=︱a︱·︱b︱cos?
rrrr叫做a与b的数量积（或内积） 规定0?a?0
rrrrra?b2向量的投影：︱b︱cos?=r∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对|a|值称为射影
rrrrr3数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积
rrrr4向量的模与平方的关系：a?a?a2?|a|2 5乘法公式成立： rrrrr2r2r2r2a?b?a?b?a?b?a?b；
????rrrrrr?a?b??a?2a?b?b222r2rrr2?a?2a?b?b
6平面向量数量积的运算律：
rrrr①交换律成立：a?b?b?a
高中数学必修4平面向量知识点总结
