导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
32f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是 2 1.
22.已知函数y?f(x)?x(x?c)在x?2处有极大值,则常数c= 6 ;
33.函数y?1?3x?x有极小值 -1 ,极大值 3
题型二:利用导数几何意义求切线方程
3??1,?3?处的切线方程是 y?x?2 y?4x?x1.曲线在点
42.若曲线f(x)?x?x在P点处的切线平行于直线3x?y?0,则P点的坐标为 (1,0)
4y?x3.若曲线的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直,则l的方程为 4x?y?3?0
4.求下列直线的方程:
322 (1)曲线y?x?x?1在P(-1,1)处的切线; (2)曲线y?x过点P(3,5)的切线;
32 ?y/?3x2?2x ?k?y/|x?-1?3-2?1 解:(1)?点P(?1,1)在曲线y?x?x?1上,
, 即x?y?2?0 所以切线方程为y?1?x?1 / (2)显然点P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为A(x0,y0),则y0?x0①又函数的导数为y?2x,
2所以过
2x0?A(x0,y0)点的切线的斜率为
k?y/|x?x0?2x0,又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点,所以有
y0?5x0?3?x0?1?x0?5?y?1 或 ?y?25?0②,由①②联立方程组得,?0,即切点为(1,1)时,切线斜率为
k1?2x0?2;;当切点为(5,25)时,切线斜率为k2?2x0?10;所以所求的切线有两条,方程分
即y?2x?1 或y?10x?25 别为y?1?2(x?1)或y?25?10(x?5),
题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值
32f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1 1.已知函数
(Ⅰ)若函数f(x)在x??2处有极值,求f(x)的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数y?f(x)在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数y?f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围
322?f(x)?x?ax?bx?c,求导数得f(x)?3x?2ax?b. 解:(1)由
过y?f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为:
y?f(1)?f?(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1).
而过y?f(x)上P[1,f(1)]的切线方程为y?3x?1.
?3?2a?b?3?故?a?c??3?2a?b?0即??a?c??3
① ②
?∵y?f(x)在x??2时有极值,故f(?2)?0,??4a?b??12 ③
32f(x)?x?2x?4x?5. 由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴
2?(2)f(x)?3x?4x?4?(3x?2)(x?2).
2?3?x??2时,f?(x)?0;当?2?x?时,f?(x)?0;3当
2当?x?1时,f?(x)?0.?f(x)极大?f(?2)?133 又f(1)?4,?f(x)在[-3,1]上最大值是13。
2?f(x)?3x?2ax?b,由①知2a+b=0。 (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又
2??依题意f(x)在[-2,1]上恒有f(x)≥0,即3x?bx?b?0.
x?①当
b?1时,f?(x)min?f?(1)?3?b?b?0,?b?66; b??2时,f?(x)min?f?(?2)?12?2b?b?0,?b??6;
x?②当
612b?b2?2??1时,f?(x)min??0,则0?b?6.b12③当
综上所述,参数b的取值范围是[0,??)
322.已知三次函数f(x)?x?ax?bx?c在x?1和x??1时取极值,且f(?2)??4.
(1) 求函数y?f(x)的表达式; (2) 求函数y?f(x)的单调区间和极值;
(3) 若函数g(x)?f(x?m)?4m(m?0)在区间[m?3,n]上的值域为[?4,16],试求m、n应满足的条件.
?(x)?3x2?2ax?bf解:(1) ,
2由题意得,1,?1是3x?2ax?b?0的两个根,解得,a?0,b??3.
3f(x)?x?3x?2. f(?2)??4c??2再由可得.∴
?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)f(2) ,
??当x??1时,f(x)?0;当x??1时,f(x)?0; ??当?1?x?1时,f(x)?0;当x?1时,f(x)?0;
?当x?1时,f(x)?0.∴函数f(x)在区间(??,?1]上是增函数; ]上是减函数;在区间[1,??)上是增函数. 在区间[?1,1函数f(x)的极大值是f(?1)?0,极小值是f(1)??4.
(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位,向上平移4m个单位得到的, 所以,函数f(x)在区间[?3,n?m]上的值域为[?4?4m,16?4m](m?0). 而f(?3)??20,∴?4?4m??20,即m?4.
于是,函数f(x)在区间[?3,n?4]上的值域为[?20,0]. 令f(x)?0得x??1或x?2.由f(x)的单调性知,?1剟n?4综上所述,m、n应满足的条件是:m?4,且3剟n
3.设函数f(x)?x(x?a)(x?b).
(1)若f(x)的图象与直线5x?y?8?0相切,切点横坐标为2,且f(x)在x?1处取极值,求实数a,b 的值;
2,即3剟n
6.
6.
(2)当b=1时,试证明:不论a取何实数,函数f(x)总有两个不同的极值点.
?解:(1)f(x)?3x?2(a?b)x?ab.
2??由题意f(2)?5,f(1)?0,代入上式,解之得:a=1,b=1.
2?3x?2(a?1)x?a?0. 令f(x)?0得方程(2)当b=1时,
2??4(a?a?1)?0,故方程有两个不同实根x1,x2. 因
''f(x)?3(x?x)(x?x)fx?x122,由不妨设1可判断(x)的符号如下: '''f(x)f(x)f(x)>0 x?x时,x?x?x时,x?x时,1122当>0;当<0;当
因此x1是极大值点,x2是极小值点.,当b=1时,不论a取何实数,函数f(x)总有两个不同的极值点。
题型四:利用导数研究函数的图象
/f1.如右图:是f(x)的导函数, (x)的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是( D )
(A) (B) (C) (D) 2.函数
6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 x -4 -2 y 6 4 2 y 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4 x y y?13x?4x?1的图像为3( A )
o 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4
323.方程2x?6x?7?0在(0,2)内根的个数为 ( B )
A、0 B、1 C、2 D、3
题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
1f(x)??x3?2ax2?3a2x?b,0?a?1.31.设函数
(1)求函数f(x)的单调区间、极值.
?(2)若当x?[a?1,a?2]时,恒有|f(x)|?a,试确定a的取值范围.
22x?a,x2?3a??f(x)??x?4ax?3a解:(1)=?(x?3a)(x?a),令f(x)?0得1
列表如下:
x (-∞,a) a
(a,3a) 3a +
0 极大
(3a,+∞) -
f?(x) f(x)
- 0 极小
] Z ]
∴f(x)在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减
4f极小(x)?b?a3x?a时,3,x?3a时,f极小(x)?b
22?f(x)??x?4ax?3a(2)∵0?a?1,∴对称轴x?2a?a?1,
?∴f(x)在[a+1,a+2]上单调递减
∴
???(a?1)2?4a(a?1)?3a2?2a?1fMax,
???(a?2)2?4a(a?2)?3a2?4a?4fmin
?|?a|f?|?a|fmin?依题|f(x)|?a?Max, 即|2a?1|?a,|4a?4|?a
44?a?1[,1)解得5,又0?a?1 ∴a的取值范围是5
22.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函
数f(x)的单调区间 (2)若对x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。 解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
-由ff
(
2124-a+b=03)=93,f
-(1)=3+2a+b=0得a=
12,b=-2
(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
高中数学高考导数题型分析及解题方法
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