导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是 2 1．
22．已知函数y?f(x)?x(x?c)在x?2处有极大值，则常数c＝ 6 ；
33．函数y?1?3x?x有极小值 －1 ,极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
3??1,?3?处的切线方程是 y?x?2 y?4x?x1．曲线在点
42．若曲线f(x)?x?x在P点处的切线平行于直线3x?y?0，则P点的坐标为 （1，0）
4y?x3．若曲线的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 4x?y?3?0
4．求下列直线的方程：
322 （1）曲线y?x?x?1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y?x过点P(3,5)的切线；
32 ?y/?3x2?2x ?k?y/|x?－1?3－2?1 解：（1）?点P(?1,1)在曲线y?x?x?1上，
， 即x?y?2?0 所以切线方程为y?1?x?1 / （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0?x0①又函数的导数为y?2x，
2所以过
2x0?A(x0,y0)点的切线的斜率为
k?y/|x?x0?2x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有
y0?5x0?3?x0?1?x0?5?y?1 或 ?y?25?0②，由①②联立方程组得，?0，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k1?2x0?2;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k2?2x0?10；所以所求的切线有两条，方程分
即y?2x?1 或y?10x?25 别为y?1?2(x?1)或y?25?10(x?5)，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1 1．已知函数
（Ⅰ）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y?f(x)在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y?f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
322?f(x)?x?ax?bx?c,求导数得f(x)?3x?2ax?b. 解：（1）由
过y?f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：
y?f(1)?f?(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1).
而过y?f(x)上P[1,f(1)]的切线方程为y?3x?1.
?3?2a?b?3?故?a?c??3?2a?b?0即??a?c??3
① ②
?∵y?f(x)在x??2时有极值,故f(?2)?0,??4a?b??12 ③
32f(x)?x?2x?4x?5. 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴
2?（2）f(x)?3x?4x?4?(3x?2)(x?2).
2?3?x??2时,f?(x)?0;当?2?x?时,f?(x)?0;3当
2当?x?1时,f?(x)?0.?f(x)极大?f(?2)?133 又f(1)?4,?f(x)在[－3，1]上最大值是13。
2?f(x)?3x?2ax?b,由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2??依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3x?bx?b?0.
x?①当
b?1时,f?(x)min?f?(1)?3?b?b?0,?b?66； b??2时,f?(x)min?f?(?2)?12?2b?b?0,?b??6；
x?②当
612b?b2?2??1时,f?(x)min??0,则0?b?6.b12③当
综上所述，参数b的取值范围是[0,??)
322．已知三次函数f(x)?x?ax?bx?c在x?1和x??1时取极值，且f(?2)??4．
(1) 求函数y?f(x)的表达式； (2) 求函数y?f(x)的单调区间和极值；
(3) 若函数g(x)?f(x?m)?4m(m?0)在区间[m?3,n]上的值域为[?4,16]，试求m、n应满足的条件．
?(x)?3x2?2ax?bf解：(1) ，
2由题意得，1,?1是3x?2ax?b?0的两个根，解得，a?0,b??3．
3f(x)?x?3x?2． f(?2)??4c??2再由可得．∴
?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)f(2) ，
??当x??1时，f(x)?0；当x??1时，f(x)?0； ??当?1?x?1时，f(x)?0；当x?1时，f(x)?0；
?当x?1时，f(x)?0．∴函数f(x)在区间(??,?1]上是增函数； ]上是减函数；在区间[1,??)上是增函数． 在区间[?1,１函数f(x)的极大值是f(?1)?0，极小值是f(1)??4．
(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的， 所以，函数f(x)在区间[?3,n?m]上的值域为[?4?4m,16?4m]（m?0）． 而f(?3)??20，∴?4?4m??20，即m?4．
于是，函数f(x)在区间[?3,n?4]上的值域为[?20,0]． 令f(x)?0得x??1或x?2．由f(x)的单调性知，?1剟n?4综上所述，m、n应满足的条件是：m?4，且3剟n
3．设函数f(x)?x(x?a)(x?b)．
（1）若f(x)的图象与直线5x?y?8?0相切，切点横坐标为２，且f(x)在x?1处取极值，求实数a,b 的值；
2，即3剟n
6．
6．
（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．
?解：（1）f(x)?3x?2(a?b)x?ab.
2??由题意f(2)?5,f(1)?0，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2?3x?2(a?1)x?a?0. 令f(x)?0得方程（2）当b=1时，
2??4(a?a?1)?0,故方程有两个不同实根x1,x2． 因
''f(x)?3(x?x)(x?x)fx?x122，由不妨设1可判断(x)的符号如下： '''f(x)f(x)f(x)＞０ x?x时，x?x?x时，x?x时，1122当＞０；当＜０；当
因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
/f1．如右图：是f（x）的导函数， (x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）
（A） （B） （C） （D） 2．函数
6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 x -4 -2 y 6 4 2 y 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4 x y y?13x?4x?1的图像为3( A )
o 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4
323．方程2x?6x?7?0在(0,2)内根的个数为 ( B )
A、0 B、1 C、2 D、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1f(x)??x3?2ax2?3a2x?b,0?a?1.31．设函数
（1）求函数f(x)的单调区间、极值.
?（2）若当x?[a?1,a?2]时，恒有|f(x)|?a，试确定a的取值范围.
22x?a,x2?3a??f(x)??x?4ax?3a解：（1）=?(x?3a)(x?a)，令f(x)?0得1
列表如下：
x （-∞，a） a
（a，3a） 3a +
0 极大
（3a，+∞） -
f?(x) f(x)
- 0 极小
] Z ]
∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
4f极小(x)?b?a3x?a时，3，x?3a时，f极小(x)?b
22?f(x)??x?4ax?3a（2）∵0?a?1，∴对称轴x?2a?a?1，
?∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减
∴
???(a?1)2?4a(a?1)?3a2?2a?1fMax，
???(a?2)2?4a(a?2)?3a2?4a?4fmin
?|?a|f?|?a|fmin?依题|f(x)|?a?Max， 即|2a?1|?a,|4a?4|?a
44?a?1[,1)解得5，又0?a?1 ∴a的取值范围是5
22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数f（x）的单调区间 （2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
－由ff
（
2124－a＋b＝03）＝93，f
－（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝
12，b＝－2
（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
高中数学高考导数题型分析及解题方法
