2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举
例教师用书 文 北师大版
1.向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:
问题类型 线平行、点共线等问题 所用知识 共线向量定理 公式表示 a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0 a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0, 垂直问题 数量积的运算性质 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 a·bcos θ=(θ为向量a,b的夹|a||b|角),其中a,b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|=a=x+y,其中a=(x,y),222a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤:
设向量运算还原
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题. 2.向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数),解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题. 【知识拓展】
→→→
1.若G是△ABC的重心,则GA+GB+GC=0.
2.若直线l的方程为Ax+By+C=0,则向量(A,B)与直线l垂直,向量(-B,A)与直线l平行. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→
(1)若AB∥AC,则A,B,C三点共线.( √ )
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × ) →→
(3)在△ABC中,若AB·BC<0,则△ABC为钝角三角形.( × )
→
(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:OP→→→
=OA+t(AB+AC),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ )
1.(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B
→→→
解析 AB=(2,-2),AC=(-4,-8),BC=(-6,-6), →2
∴|AB|=2+-2
2
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
→
=22,|AC|=16+64=45,
→
|BC|=36+36=62, →2→2→2
∴|AB|+|BC|=|AC|, ∴△ABC为直角三角形.
→→→→
2.已知在△ABC中,|BC|=10,AB·AC=-16,D为边BC的中点,则|AD|等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 D
→→→→
解析 在△ABC中,由余弦定理可得,AB2+AC2-2AB·AC·cos A=BC2,又AB·AC=|AB|·|AC→→|·cos A=-16,所以AB2+AC2+32=100,AB2+AC2=68.又D为边BC的中点,所以AB+AC=→→2→
2AD,两边平方得4|AD|=68-32=36,解得|AD|=3,故选D.
→→
3.(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP·OA=4,则点P的轨迹方程是____________. 答案 x+2y-4=0
→→
解析 由OP·OA=4,得(x,y)·(1,2)=4, 即x+2y=4.
4.(2016·银川模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(3,-1),则|2a-b|的最大值为________. 答案 4
解析 设a与b夹角为α, ∵|2a-b|=4a-4a·b+b =8-4|a||b|cos α=8-8cos α, ∵α∈[0,π],∴cos α∈[-1,1], ∴8-8cos α∈[0,16],即|2a-b|∈[0,16], ∴|2a-b|∈[0,4].∴|2a-b|的最大值为4.
→→
5.(2016·江西八校联考)在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,2),则△ABC的面积为________. 答案 1-
3 2
=
→→|AB||AC|
2
2
2
2
解析 ∵cos∠BAC=
AB·AC→→
2+615
,
2-3
∴sin∠BAC=,
15
1→3→
∴S△ABC=|AB|·|AC|·sin∠BAC=1-.
22
题型一 向量在平面几何中的应用
→→
例1 (1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AC·BE=1,则
AB=________.
→→
(2)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足OP=OA+
λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 1
答案 (1) (2)C
2
→→→→→1→
解析 (1)在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则BE=FD,∴BE=FD=AD-AB,
2→→→又∵AC=AD+AB,
→→→→→1→∴AC·BE=(AD+AB)·(AD-AB)
2→21→→→→1→2=AD-AD·AB+AD·AB-AB
22
→→
1→2→21→→
=|AD|+|AD||AB|cos 60°-|AB|
2211→1→2
=1+×|AB|-|AB|=1.
222
→→1?1→?→
∴?-|AB|?|AB|=0,又|AB|≠0,∴|AB|=.
2?2?
→→→→→→→→→
(2)由原等式,得OP-OA=λ(AB+AC),即AP=λ(AB+AC),根据平行四边形法则,知AB+AC→
是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心. 引申探究
→??→ABAC?→→?+本例(2)中,若动点P满足OP=OA+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通
→??|→
?AB||AC|?过
△ABC的
________________________________________________________________________. 答案 内心
→?→?→→?→?→ABACABACABAC→→→?,即AP=λ??,而++解析 由条件,得OP-OA=λ?和分别表→?→→??|→?→→
|AB||AC|?AB||AC|??|AB||AC|?→→
ABAC→→→
示平行于AB,AC的单位向量,故+平分∠BAC,即AP平分∠BAC,所以点P的轨迹必
→→|AB||AC|过△ABC的内心.
思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. (2)基向量法
适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.
→→→→ABACABAC1→→→
(1)在△ABC中,已知向量AB与AC满足(+)·BC=0,且·=,→→→→2|AB||AC||AB||AC|
则△ABC为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则→→
|PA+3PB|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5
→→ABAC→→
解析 (1),分别为平行于AB,AC的单位向量,由平行四边形法则可知+为
→→→→|AB||AC||AB||AC|
AB→→
AC∠BAC的平分线.因为(
→
→
AC→
+)·BC=0,所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC. →→|AB||AC|
AB→→
?→?→AB?AC?1????·cos∠BAC=1,又·=·所以cos∠BAC=,又0<∠BAC<π,故∠BAC→→?→??→?22|AB||AC|?|AB|??|AC|?
ABACπ
=,所以△ABC为等边三角形. 3
(2)以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
设DC=a,DP=y.
则D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),
P(0,y),
→
PA=(2,-y),PB=(1,a-y),
→→
则PA+3PB=(5,3a-4y), →→22
即|PA+3PB|=25+(3a-4y), 由点P是腰DC上的动点,知0≤y≤a. 3→→2
因此当y=a时,|PA+3PB|的最小值为25.
4→→
故|PA+3PB|的最小值为5. 题型二 向量在解析几何中的应用
→→→
例2 (1)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A、B、C三点共线,当k<0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________________.
→→22
(2)设O为坐标原点,C为圆(x-2)+y=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足OM·CM=0,则 =_____________________________________________.
→
yx
2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5_4平面向量应用举例教师用书文北师大版
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