2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举
例教师用书 文 北师大版
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 线平行、点共线等问题 所用知识 共线向量定理 公式表示 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0， 垂直问题 数量积的运算性质 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 a·bcos θ＝(θ为向量a，b的夹|a||b|角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝a＝x＋y，其中a＝(x，y)，222a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
设向量运算还原
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题． 2．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】
→→→
1．若G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0.
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→
(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．( √ )
(2)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．( × ) →→
(3)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．( × )
→
(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→→→
＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.( √ )
1．(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 B
→→→
解析 AB＝(2，－2)，AC＝(－4，－8)，BC＝(－6，－6)， →2
∴|AB|＝2＋－2
2
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
→
＝22，|AC|＝16＋64＝45，
→
|BC|＝36＋36＝62， →2→2→2
∴|AB|＋|BC|＝|AC|， ∴△ABC为直角三角形．
→→→→
2．已知在△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为边BC的中点，则|AD|等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 答案 D
→→→→
解析 在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，又AB·AC＝|AB|·|AC→→|·cos A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以AB＋AC＝→→2→
2AD，两边平方得4|AD|＝68－32＝36，解得|AD|＝3，故选D.
→→
3．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是____________． 答案 x＋2y－4＝0
→→
解析 由OP·OA＝4，得(x，y)·(1,2)＝4， 即x＋2y＝4.
4．(2016·银川模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值为________． 答案 4
解析 设a与b夹角为α， ∵|2a－b|＝4a－4a·b＋b ＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a－b|∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]．∴|2a－b|的最大值为4.
→→
5．(2016·江西八校联考)在△ABC中，AB＝(2，3)，AC＝(1，2)，则△ABC的面积为________． 答案 1－
3 2
＝
→→|AB||AC|
2
2
2
2
解析 ∵cos∠BAC＝
AB·AC→→
2＋615
，
2－3
∴sin∠BAC＝，
15
1→3→
∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin∠BAC＝1－.
22
题型一 向量在平面几何中的应用
→→
例1 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则
AB＝________.
→→
(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋
λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 1
答案 (1) (2)C
2
→→→→→1→
解析 (1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，∴BE＝FD＝AD－AB，
2→→→又∵AC＝AD＋AB，
→→→→→1→∴AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)
2→21→→→→1→2＝AD－AD·AB＋AD·AB－AB
22
→→
1→2→21→→
＝|AD|＋|AD||AB|cos 60°－|AB|
2211→1→2
＝1＋×|AB|－|AB|＝1.
222
→→1?1→?→
∴?－|AB|?|AB|＝0，又|AB|≠0，∴|AB|＝.
2?2?
→→→→→→→→→
(2)由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC→
是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心． 引申探究
→??→ABAC?→→?＋本例(2)中，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通
→??|→
?AB||AC|?过
△ABC的
________________________________________________________________________． 答案 内心
→?→?→→?→?→ABACABACABAC→→→?，即AP＝λ??，而＋＋解析 由条件，得OP－OA＝λ?和分别表→?→→??|→?→→
|AB||AC|?AB||AC|??|AB||AC|?→→
ABAC→→→
示平行于AB，AC的单位向量，故＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以点P的轨迹必
→→|AB||AC|过△ABC的内心．
思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
→→→→ABACABAC1→→→
(1)在△ABC中，已知向量AB与AC满足(＋)·BC＝0，且·＝，→→→→2|AB||AC||AB||AC|
则△ABC为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则→→
|PA＋3PB|的最小值为________． 答案 (1)A (2)5
→→ABAC→→
解析 (1)，分别为平行于AB，AC的单位向量，由平行四边形法则可知＋为
→→→→|AB||AC||AB||AC|
AB→→
AC∠BAC的平分线．因为(
→
→
AC→
＋)·BC＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC. →→|AB||AC|
AB→→
?→?→AB?AC?1????·cos∠BAC＝1，又·＝·所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC→→?→??→?22|AB||AC|?|AB|??|AC|?
ABACπ
＝，所以△ABC为等边三角形． 3
(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设DC＝a，DP＝y.
则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，
P(0，y)，
→
PA＝(2，－y)，PB＝(1，a－y)，
→→
则PA＋3PB＝(5,3a－4y)， →→22
即|PA＋3PB|＝25＋(3a－4y)， 由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a. 3→→2
因此当y＝a时，|PA＋3PB|的最小值为25.
4→→
故|PA＋3PB|的最小值为5. 题型二 向量在解析几何中的应用
→→→
例2 (1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
→→22
(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)＋y＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM·CM＝0，则 ＝_____________________________________________.
→
yx
2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5_4平面向量应用举例教师用书文北师大版
