2024_2024学年高中数学第二章一元二次函数方程和不等式复习课学案新人教A版必修1

复习课(二) 一元二次函数、方程和不等式

考点一 基本不等式

利用基本不等式a＋b≥2ab(a>0，b>0)求最值，要抓住“一正，二定，三相等”的条件，三者缺一不可，和为定值积有最大值，积为定值和有最小值．

【典例1】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( ) A.

2428

B. C．5 D．6 55

2

2

(2)若正数x，y满足4x＋9y＋3xy＝30，则xy的最大值是( ) 455A. B. C．2 D. 334

13

[解析] (1)因为x＋3y＝5xy，＋＝5，

yx1?13?所以3x＋4y＝(3x＋4y)·?＋? 5?yx?1?3x12y?13

＝?＋?＋ x?55?y113

≥×2×36＋＝5. 55

3x12y1

当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立，所以3x＋4y的最小值是5.

yx2(2)由4x＋9y＋3xy＝30，得

2·2x·3y＋3xy≤4x＋9y＋3xy＝30， 即15xy≤30，xy≤2，此时当且仅当

?2x＝3y?

?2

2

??4x＋9y＋3xy＝30，

2

2

2

2

23即x＝3，y＝时取得最大值．

3故答案选C. [答案] (1)C (2)C

条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

[针对训练]

1．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则2x＋y的最小值是________．

1

[解析] 解法一：∵x>0，y>0， 11?2x＋y?2

∴xy＝·(2x)·y≤·??，

22?2?12

∴2x＋y＋6＝(2x＋y)＋6≤(2x＋y)，

8∴(2x＋y)－8(2x＋y)－48≥0， 令2x＋y＝t，t>0，则t－8t－48≥0， ∴(t－12)(t＋4)≥0，∴t≥12，即2x＋y≥12. 解法二：由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得

2

2

xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，

即(xy)－22xy－6≥0， ∴(xy－32)·(xy＋2)≥0， 又∵xy>0，∴xy≥32，即xy≥18， ∴xy的最小值为18，

∵2x＋y＝xy－6，∴2x＋y的最小值为12. [答案] 12

2

x2－2x＋2

2．已知x>1，求函数y＝的最小值．

2x－2

[解] ∵x>1，

x2－2x＋2?x－1?2＋1∴y＝＝

2x－22?x－1?

1?11?

＝??x－1?＋≥×2

x－1?2??2＝1，

当且仅当x－1＝

1

，即x＝2时，取“＝”， x－1

?x－1?·

1 x－1

x2－2x＋2

∴当x＝2时，函数y＝有最小值为1.

2x－2

考点二 一元二次不等式的解法与三个“二次”之间的关系

一元二次方程的根就是二次函数的零点，求二次不等式的解一般结合二次函数的图象写出不等式的解．

【典例2】 (1)已知不等式ax＋bx＋2>0的解集为{x|－1

2

2

a<0的解集为( )

?A.?x?

1?

| －1

??B.?x?1?

| x<－1或x>2?

?

C．{x|－2

D．{x|x<－2或x>1}

2

(2)若a为实数，解关于x的不等式ax＋(a－2)x－2<0.

[解析] (1)根据题意x＝－1和x＝2是方程ax＋bx＋2＝0的两个根，于是

??a－b＋2＝0???4a＋2b＋2＝0

2

2

2

??a＝－1

，解得?

??b＝1

，

?

则2x＋x－1<0的解集为?x?1?

| －1

?

(2)当a＝0时，不等式化为－2x－2<0，解得{x|x>－1}； 当a≠0时，不等式化为(x＋1)(ax－2)<0，

?2?若a>0，则不等式化为(x＋1)?x－?<0，

?

a?

?2?2

且－1<，∴不等式的解集为?x|－1

a?

a?

?2?若a<0，则不等式化为(x＋1)?x－?>0，

?

a?

22

当＝－1，即a＝－2时，不等式化为(x＋1)>0，解得{x|x≠－1}；

a2

当a<－2，即>－1时，不等式的解集为

a??2

?x|x>或x<－1?；

a??

2

当－2

a??2

?x|x<或x>－1?.

a??

综上，a＝0时，不等式的解集为{x|x>－1}，

a>0时，不等式的解集为?x|－1

a??

??2

－2－1?，

?

?2?

a?

a＝－2时，不等式的解集为{x|x≠－1}， a<－2时，不等式的解集为?x|x>或x<－1?.

a??

[答案] (1)A (2)见解析

?

2?

解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．

3

[针对训练]

3．若不等式(1－a)x－4x＋6>0的解集是{x|－30； (2)b为何值时，ax＋bx＋3≥0的解集为R.

[解] (1)由题意，知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x－4x＋6＝0的两根，

2

22

2

?4?＝－2∴?1－a6??1－a＝－3，

2

1－a<0，

解得a＝3.

∴不等式2x＋(2－a)x－a>0

32

即为2x－x－3>0，解得x<－1或x>. 2

?3?

∴所求不等式的解集为?x|x<－1或x>?.

2??

(2)ax＋bx＋3≥0，即为3x＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b－4×3×3≤0， ∴－6≤b≤6.

222

4