(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4.1导数与不等式练习新人教B版

若a>恒成立,必有a≥1,

即a的取值范围为[1,+∞).

两个函数图象分布问题,通常转化为什么问题? 提示:通常转化为不等式恒成立问题.

1.(2019·郑州模拟)已知函数f(x)=x+ln x,若在区间(1,+∞)上函数f(x)的图

**······**2

象恒在直线y=2ax的图象的下方,则实数a的取值范围是________. 【解析】令g(x)=f(x)-2ax

=x-2ax+ln x,

2

则g(x)的定义域为(0,+∞).

在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.

**······**g′(x)=(2a-1)x-2a+

==.

①若a>,令g′(x)=0,得极值点x1=1,x2=,

当x2>x1=1,即0,

在(1,x2)上有g′(x)<0,在(x2,+∞)上有g′(x)>0,此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并

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且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;当x2≤x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,

**······**有g(x)∈(g(1),+∞),也不符合题意;

②若a≤,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g′(x)<0,从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数;

**······**要使g(x)<0在此区间上恒成立,只需满足

g(1)=-a-≤0,得a≥-.

由此求得a的范围是.

综合①②可知,当a∈时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.

答案:

2

3

2

2.已知两个函数f(x)=7x-28x-c,g(x)=2x+4x-40x.若任意x1∈[-3,3],x2∈[-3,3]都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数c的取值范围.

**······**【解析】由任意x1∈[-3,3],x2∈[-3,3], 都有f(x1)≤g(x2)成立,得f(x1)max≤g(x2)min. 因为f(x)=7x-28x-c=7(x-2)-28-c, 当x1∈[-3,3]时,f(x1)max=f(-3)=147-c; g(x)=2x+4x-40x,

g′(x)=6x+8x-40=2(3x+10)(x-2),

当x变化时,g′(x)和g(x)在[-3,3]上的变化情况如下表: x g′(x) g(x) -3 102 (-3,2) - ↘ 2 0 极小值 (2,3) + ↗ 3 -30 23

22

2

7

-48 易得g(x)min=g(2)=-48, 故147-c≤-48,即c≥195.

3.已知函数f(x)=ax++1-2a-ln x,a∈R.

(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间.

(2)若f(x)≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,求正数a的取值范围. 【解析】(1)当a=-1时,

f(x)=-x--lnx+3(x>0),

所以f′(x)==,

则当x∈(0,1)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,则f(x)单调递减;

所以f(x)的单调递增区间为(0,1),f(x)的单调递减区间为(1,+∞).

(2)因为f(x)=ax++1-2a-ln x,x∈[1,+∞),则f=0,

f′(x)=a--=

=.

①当01,

故当1

f(x)在

上是减函数,

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所以当x∈时,f(x)

②当a≥时,≤1,此时f′(x)≥0在上成立,所以f(x)在

上是增函数,

所以f(x)≥f

=0,即f(x)≥0在

上恒成立.综上所述,a的取值范围为

.

已知函数f(x)=x-(a+1)x+4ax+2(a为实数). (1)讨论函数f(x)的单调性.

(2)若f(x)>-(a+1)x+2xln x+2在[1,e]上恒成立,求a的取值范围.

2

32

【解析】(1)由题意,函数f(x)=4a=(x-2)(x-2a),

**······**x-(a+1)x+4ax+2,则f′(x)=x-2(a+1)x+

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令f′(x)=0,解得x=2或2a,

①当a=1时,有2a=2,有f′(x)=(x-2)≥0, 故f(x)在R上单调递增;

②当a<1时,有2a<2,f(x),f′(x)随x的变化情况如下表:

x f′(x) f(x) (-∞,2a) + ↗ 2a 0 极大 (2a,2) - ↘ 2 0 极小 (2,+∞) + ↗ 2

由上表可知f(x)在(-∞,2a)和(2,+∞)上单调递增,在(2a,2)上单调递减; ③同②当a>1时,有2a>2,

有f(x)在(-∞,2)和(2a,+∞)上单调递增,在(2,2a)上单调递减;

综上,当a>1时,f(x)在(-∞,2) 和(2a,+∞)上单调递增,在(2,2a)上单调递减;

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当a=1时,f(x)在R上单调递增;

当a<1时,f(x)在(-∞,2a)和(2,+∞)上单调递增,在(2a,2)上单调递减.

(2)依题意有x-(a+1)x+4ax+2>-(a+1)x+2xln x+2在[1,e]上恒成立,

322

**······** 即4ax>-x+2xln x在[1,e]上恒成立,

3

故a>-x+ln x在[1,e]上恒成立,

2

设 g(x)=-x+ln x,x∈[1,e],则有a>g(x)max(*).

2

易得g′(x)=-x+去),

**······**=,令g′(x)=0,有-x+3=0,解得x=

2

(x=-舍

g(x),g′(x)随x的变化情况如下表:

x g′(x) g(x) 1 (1,+ ↗ ) 0 极大 (,e) - ↘ e 由上表可知,g(x)max=g()=-×()+ln

2

=ln 3-.

又由(*)式可知a>g(x)max=ln 3-,

故a的取值范围为

.

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