两式相减得bn?2bn?1,
b1?2,?bn?0,?bn?2 bn?1??bn?以2为首项公比为2的等比数列，
?bn?2n.
（2）由（1）知，所以cn?n?3
2n??n?1???n?2??cn?11?
2n?1??n?1?2n??n?2???1??11??11?11?1?Tn??0?1???1?2???2?3????????n?n?1??2?22?32?32?42?42?52?n?12?n?2???????????? ∴Tn?11?n. 22??n?2?【点睛】
本题考查等差、等比数列的通项，考查已知前n项和求通项，以及求数列的前n项和，属于中档题.
21．已知函数f?x???12ax??1?a?x?lnx?a?R?. 2（1）当a?0时，求函数f?x?的最小值； （2）当a?0时，求函数f?x?的单调区间；
（3）当a?0时，设函数g?x??xf?x?，若存在区间?m,n???,???，使得函数g?x?在?m,n?上的值域为??k?m?2??2,k?n?2??2??，求实数k的最大值. 【答案】（1）f?x?min?1 （2）答案不唯一，见解析 （3）【解析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值； （2）求导，对a分类讨论，可求出函数f?x?的单调区间；
（3）求出g'?x?，通过分析g''?x?，可得到g?x?在?,???增函数，从而有
?1?2??9?ln4 10?1?2??第 16 页 共 21 页
?1?g(m)?k?m?2??2,g(n)?k?n?2??2，转化为g?x??k?x?2??2在?,???上
?2?至少有两个不同的正根m,n?m?n???1?g?x??2g?x??2，，转化为与k?y??2?x?2x?21?y?a?,??至少有两个交点，即可求出实数k的最大值. ???2?【详解】
（1）当a?0时，f?x??x?lnx?x?0?， 这时的导数f'?x??1?令f'?x??0，即1?1， x1?0，解得x?1， x令f'?x??0得到x?1， 令f'?x??0得到0?x?1，
故函数f?x?在?0,1?单调递减，在?1,???单调递增； 故函数f?x?在x?1时取到最小值， 故f?x?min?f?1??1； （2）当a?0时，函数f?x???导数为f'?x???ax?1?a?12ax??1?a?x?lnx 2?x?1??ax?1?， 1??xx若a?1时，f'?x??0，f?x?单调递减， 若a?1时，
1?1， a当x?1或0?x?1时，f'?x??0， a当
1?x?1时，f'?x??0， a??
1?
?，?1,???上单调递减， a?
即函数f?x?在区间?0,
在区间??1?,1?上单调递增. ?a?第 17 页 共 21 页
若0?a?1时，当x?1?1， a1或0?x?1时，f'?x??0， a1时，f'?x??0， a当1?x??1?fx0,1函数??在区间??，?,???上单调递减，
?a?在区间?1,?1??上单调递增. a??综上，若a?1时，函数f?x?的减区间为?0,???，无增区间， 若a?1时，函数f?x?的减区间为?0,
?
?1??1?1,????，，增区间为?,1?， ?a??a??1??1?,???，增区间为?,1?.
?a??a?若0?a?1时，函数f?x?的减区间为?0,1?，?2（3）当a?0时，设函数g?x??xf?x??x?xlnx. 令g'?x??2x?lnx?1，g''?x??2?当x?12x?1??x?0?， xx1时，g''?x??0，g'?x?为增函数， 2?1?g'?x??g'???ln2?0，g?x?为增函数，
?2?g?x?在区间?m,n???,???上递增，
∵g?x?在?m,n?上的值域是??k?m?2??2,k?n?2??2??， 所以g?x??k?x?2??2在?,???上至少有两个不同
?1?2???1?2??的正根m,n?m?n???1?g?x??2，， k??2?x?2x2?3x?2lnx?4x2?xlnx?2令F?x??，求导得，F'?x??， 2?x?2?x?22令G?x??x?3x?2lnx?4?x???1??， 2?第 18 页 共 21 页
则G'?x??2x?3?2?2x?1??x?2??1??x???， xx2?????1???0，G?1??0， 2??所以G?x?在?,???递增，G??1?2?1?x?,1?，G?x??0，∴F'?x??0， 当??2?当x??1,???，G?x??0，∴F'?x??0， 所以F?x?在?,1?上递减，在1,???上递增，
?1??2??∴F?1??k?F?∴k的最大值为【点睛】
?9?ln4??1?k?∴，， ??1,?210????9?ln4. 10本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.
??x?1?5cos?(?为参数)，以22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为: ???y?5sin?坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为
???4(??R).
(1)求C1的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1相交于M，N两点，求MN. 【答案】(1) ??2?cos??4?0；(2)32. 【解析】（1）根据曲线C1的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；
（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入?x?1??y2?5，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】
22??x?1?5cos?(?为参数)， C(1)曲线1的参数方程为: ???y?5sin?第 19 页 共 21 页
转换为普通方程为: ?x?1??y2?5， 转换为极坐标方程为: ??2?cos??4?0.
22?2x?t???2(2)直线C2的极坐标方程为??(??R).转换为参数方程为: ? (t为参数).
4?y?2t?2?把直线的参数方程代入(x?1)?y?5，
得到: t2?2t?4?0，(t1和t2为M，N对应的参数)， 故: t1?t2?2，t1?t2??4， 所以|MN|?t1?t2?【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 23．已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.
(1)当a??1时，求不等式f?x??3的解集；
(2)若x?1时，不等式f?x??x?2恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) ???,??222?t1?t2?2?4t1t2?32. ??3???3?,??（2）(??,?2]?[0,??). ?；?2??【解析】（1）先由a??1得|x?1|?|x?1|?3，分别讨论x??1，?1?x?1，x?1三种情况，即可得出结果；
（2）先由题意，得到当x?1时，不等式f?x??x?2恒成立转化为a??成立，进而可求出结果. 【详解】
(1)当a??1时，不等式f?x??3可化简为|x?1|?|x?1|?3. 当x??1时，?x?1?1?x?3，解得x??当?1?x?1时，x?1?1?x?3，无解； 当x?1时，x?1?x?1?3，解得x?2或a?0恒x33，所以x?? 2233，所以x?； 22第 20 页 共 21 页
2020届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学(理)试题(解析版)
