4.4相似三角形的性质及其应用（1）
教学目标：
1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.
2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.
3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题. 重点与难点：
1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.
2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点. 知识要点：
三角形相似的条件：
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重要方法：
1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.
2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立. 教学过程： 一、问题情境
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、新课 1、如图，4 ×4正方形网格
2看一看： ΔABC与ΔA′B′C′有什么关系？为什么？（相似）算一算： ΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（2 ） A′C′102ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少? （2 ）面积比是多少？（2） B′A′5想一想： 2C′上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么B′1关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方 验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？ 你能加以验证吗？ 已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.
△ABC的周长△ABC的面积
求证： ＝k， ＝k2
△A′B′C′的周长△A′B′C′的面积
例题 已知：如图，△ABC∽ △A′B′C′, △ABC与 △A′B′C′的相似比是k,AD、A′
A′D′是对应高。
AD
求证： ＝k 证明：
A′D′
B′∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B= ∠B′∵AD、A′D′是对应高。
D′C′∴∠ADB=∠A′D′B′=90O ∴ △ABD∽△A’B’D’练一练：
1、已知两个三角形相似，请完成下列表格 相似比 2 周长比 面积比 10000 注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。2、如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠AB，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求： AG
（1） ；
AF
EFDC（2）△ADE与△ABC的周长之比； BG（3）△ADE与△ABC的面积之比.
例1 如图：是某市部分街道图，比例尺为1∶10000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积. 问题解决：如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC的周长为80m，面积为100m2,求ΔADE的周长和面积拓展延伸 A1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？2.若设SΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2.请猜想：S与S1、S2之间存在怎S1样的关系？你能加以验证吗？证明：DE//BC △ADE∽△ABC ＝SAES1AES2AE（ ）2 ＝ FE//BA △CFE∽△CBA ＝（ ）2 ACACSACSS2CE ＝ ACS
BDCAS1S2 ＋ ＝1 SS
类比猜想
如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且DE、FG、MN交于点PB。 MDS1S2FECPS3若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3,SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有 类似结论？猜想并加以验证。练一练：书本P115课内练习1、2 练一练（分组练习） 证明：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比等于相似比。能力训练
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。
2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长比是 。
3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm，面积为12cm2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S△ADE∶S四边形DBCE的比为______
5、如图， △ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=______
AGNO6.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC,
ED交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.
DA7、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且EFGA AC=2AD.则ΔACD∽Δ______.它们的相似比K =_______.探究活动：CBP115 1、书本
BCDF已知△ABC,如图，如果要作与BC平行的直线把△ABC划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比为1∶1该怎么作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶2呢？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶n呢？（平行
BC线等分线段、平行线分线段成比例定理） E2．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线
段之比都等于相似比(a∶b)．
S甲aV甲a
＝（ ）2 ＝（ ）3 S乙bV乙b
练习
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A．两个球体 B．两个锥体 C．两个圆柱体D．两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______； ②相似体表面积的比等于__ ____；
③相似体体积比等于___ ．
(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化) 设他的体重为x千克，根据题意得解得x＝60.75(千克) 三、小结 四、作业： 见作业本
x1.65 ＝（ ）3 181.1
4.4相似三角形的性质及其应用（2）
教学目标：
1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2、进一步检验数学的应用价值. 重点与难点：
1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点. 知识要点：
1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得. 2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的. 重要方法：
1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的. 2、在测量宽度时，可采用下面的方法. 教学过程： 一、复习提问
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等。∵△A′B′C′∽△ABC ∴ ∠A= ∠A′ ， ∠B= ∠B′ ∠C= ∠C′2、相似三角形对ABBCCA
应边成比例。∵△ABC∽△ABC ∴ ＝ ＝ 3、相似
A′B′ B′C′ C′A′三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。5、
相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、例题讲解
1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？ 把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着
直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A， 再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。 A 这时树高多少？你能解决这个问题吗？
A C C D D B B 把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ 分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m）
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？ 2、如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2. 25 m。现要在屋顶上开一个天窗，
Q 天窗高度 AC=1. 20m，AB在水平位置。求AB的长度。（结果保留3个有效数字） B A 三、练一练
C 1、课内练习
P O 步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度A 为50cmB ，求眼睛到目标的距离OF。 AB为2mm，目标的正面宽度CD准星
C 2、反馈练习 A （1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为F 3米,则树O B 高 4米 .（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米， B E D 长臂OB=10米，短臂端下降 AC=0.6米，则长臂端上升BD= 6 米。3.(深圳市中考题)如图:小明在打网C h 球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h应D O 0.9m 为（ A ） 。A、2.7米 B、1.8米 C、0.9米 D、 6米 A 5m 10m 思考题：
1、如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔 直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而 求出AB的长度。解：∵ OA:OC＝OB:OD＝n 且∠AOB＝∠COD
O
a－AB
∴△AOB∽△COD∵ OA:OC＝AB:CD＝n 又∵CD＝b∴AB=CD·n ＝nb∴x＝
2
Aa－nb＝ 2、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80
E2NP毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN是符合要求的CB△ABC的高AD与PN相交于点E。 MQD设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
AEPN80－xx所以 ＝ 因此 ＝ 得 x=48（毫米）。
ADBC80120答：这个正方形零件的边长是48毫米。四、课堂小结 1、相似三角形的应用主要有如下两个方面 （1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
（2）测距(不能直接测量的两点间的距离)2、测高的方法
相似三角形的性质及其应用
