全国高中数学联合竞赛题
题号 得分 评卷人 复核人 一 二 三 13 14 15 合计 加试 总成绩 学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题）,全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分36分,每小题6分）
本题共有6个小是题,每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内）,一律得0分。
1、 函数f(x)=log1(x?2x?3)的单调递增区间是
22(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (C) (1,+∞) (D) (3,+∞) 2、 若实数x, y满足(x+5)2+(y?12)2=142,则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3、 函数f(x)=
3 (D) 2
xx ?1?2x2(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数
x2y2xy??1相交于A,B两点,该圆上点P,使得⊿PAB面积等于3,这样的点P共有 4、 直线??1椭圆16943(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
5、 已知两个实数集合A={a1, a2, … , a100}与B={b1, b2, … , b50},若从A到B的映射f使得B中的每一个
元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100),则这样的映射共有
50504949(A) C100 (B) C90 (C) C100 (D) C99
6、 由曲线x2=4y, x2= ?4y, x=4, x= ?4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1,满足x2+y2≤16,
x2+(y-2)2≥4, x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则
(A) V1=
12V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2 23二、 填空题（本题满分54分,每小题9分）
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
7、 已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3,若它们所对应向量的夹角为60°,则
z1?z2= 。
z1?z2第 1 页 共 3 页
8、 将二项式(x?124x)n的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的指数是
整数的项共有 个。
9、 如图,点P1,P2,…,P10分别是四面体点或棱的中点,那么在同一
平面上的四点组(Pl, Pi, Pj, Pk)(l 11、 若log4(x?2y)?log4(x?2y)?1,则|x|?|y|的最小值 P10 P1 P2 P3 P7 P5 P9 P6 P4 是 。 P8 12、 使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负 数a的取值范围是 。 三、解答题（本题满分60分,每小题20分） 13、 已知点A(0,2)和抛物线y=x2+4上两点B、C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围。 14、 如图,有一列曲线P0, P1, P2, ……,已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形,Pk+1是对Pk进行如 下操作得到的：将Pk的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…),记Sn为曲线Pk所围成图形面积。 ①求数列{Sn}的通项公式；②求limsn。 n??15、 设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件： ① 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x； ② 当x∈(0,2)时,f(x)≤(x?12) 2③ f(x)在R上的最小值为0。 求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x 第 2 页 共 3 页 全国高中数学联合竞赛加试试题 （10月13日上午10：00—12：00） 学生注意：1、本试卷共有三大题,全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、（本题满分50分） 如图,在⊿ABC中,∠A=60°,AB>AC,点O是外心,两条高BE、CF交于H点,点M、N分别在线段BH、HF上,且满足BM=CN,求 A F N O K M H E B 的值。 二、（本题满分50分） 实数a,b,c和正数?使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三个实根x1,x2,x3,且满足 ① x2?x1=?, ② x3> MH?NHOHC 1(x1+x2) 2求 2a3?27c?9ab?3的最大值。 三、（本题满分50分） 在世界杯足球赛前,F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名,准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场,假设在比赛的任何时刻,这些队员中有且仅有一人在场上,并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除,A5,A6,A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除,如果每场换人次数不限,那么按每名队员上场的总时间计算,共有多少种不同的情况。 第 3 页 共 3 页
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