一、知识梳理 １．函数与映射的概念
两集合A，B 函数 设A，B是两个非空的数集 映射 设A，B是两个非空的集合 如果按照某种确定的对应关系f，如果按某一个确定的对应关系f，对应关系f：A→B 使对于集合A中的任意一个数x，使对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 名称 记法 ２．函数的有关概念 （１）函数的定义域、值域．
y＝f（x）（x∈A） 在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
（２）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
（３）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
（４）函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． ３．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
段值域的并集．
常用结论
几种常见函数的定义域
（１）f（x）为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． （２）f（x）为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
（３）f（x）为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为１的实数集合． （４）若f（x）＝x0，则定义域为{x|x≠0}． （５）指数函数的底数大于0且不等于１． （6）正切函数y＝tan x的定义域为错误!. 二、教材衍化
１．下列函数中，与函数y＝x＋１是相等函数的是（ ） Ａ．y＝（错误!）２ Ｃ．y＝错误!＋１
Ｂ．y＝错误!＋１ Ｄ．y＝错误!＋１
解析：选Ｂ．对于A，函数y＝（错误!）２的定义域为{x|x≥—１}，与函数y＝x＋１的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝错误!＋１的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋１的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选Ｂ．
２．函数y＝f（x）的图象如图所示，那么f（x）的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案：[—３，0]∪[２，３] [１，５] [１，２）∪（４，５] ３．函数y＝错误!·错误!的定义域是________． 解析：错误!?x≥２． 答案：[２，＋∞）
一、思考辨析
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（１）函数y＝f（x）的图象与直线x＝a最多有２个交点．（ ） （２）函数f（x）＝x２—２x与g（t）＝t２—２t是相等函数．（ ） （３）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．（ ）
（４）若集合A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．（ ） （５）分段函数是由两个或几个函数组成的．（ ）
（6）分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．（ ） 答案：（１）× （２）√ （３）× （４）× （５）× （6）√ 二、易错纠偏
错误!错误!（１）对函数概念理解不透彻； （２）对分段函数解不等式时忘记范围； （３）换元法求解析式，反解忽视范围．
１．已知集合P＝{x|0≤x≤４}，Q＝{y|0≤y≤２}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．（填序号）
１f：x→y＝错误!x；２f：x→y＝错误!x；３f：x→y＝错误!x；４f：x→y＝错误!. 解析：对于３，因为当x＝４时，y＝错误!×４＝错误!?Q，所以３不是函数． 答案：３
２．设函数f（x）＝错误!则使得f（x）≥１的自变量x的取值范围为________．
解析：因为f（x）是分段函数，所以f（x）≥１应分段求解．当x<１时，f（x）≥１?（x＋１）２≥１?x≤—２或x≥0，所以x≤—２或0≤x<１；当x≥１时，f（x）≥１?４—错误!≥１，即错误!≤３，所以１≤x≤１0．综上所述，x≤—２或0≤x≤１0，即x∈（—∞，—２]∪[0，１0]．
答案：（—∞，—２]∪[0，１0]
３．已知f（错误!）＝x—１，则f（x）＝________．
解析：令t＝错误!，则t≥0，x＝t２，所以f（t）＝t２—１（t≥0），即f（x）＝x２—１（x≥0）．
北师大版版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数函数及其表示教学案理
