Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式ax 解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 ax<0的解集 b 正 负 零 a 正 负 零 当a>0时，解集是x< bb, 当a<0时，解集是x>, aa 当a=0,b>0时，解集是所有学过的数， 当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解) 例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形 个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位， 再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计： 边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10 边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在下的▽有：1 边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3 边长4单位，顶点在上的△有：1 合计共27个 练习十三 1、已知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是________ 2、a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是______________________ 3、xyz=6,写出所有的正整数解有：_________________ 4、如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。 EDABCF 第 41 页 （共 65 页） 5、写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的所有三次单项式 。 6、除以4余1 两位数共有几个？ 7、从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？ 8、把边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举 法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？ 第 42 页 （共 65 页） 9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从 AA到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ B 10. 列表讨论不等式ax>b的解集. 11. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，则这个正整数的最小值是__________ 第十四讲 经验归纳法 一、内容提要 第 43 页 （共 65 页） 1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，??， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ）， 三位数从 100 到 999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， ???? 归纳出n 位数共有9×10n-1(个) ③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42?? 推断出从1开始的n个连续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明） 二、例题 例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 1 2 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4 ??? 第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点 由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋??＋n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n－1）］× n?1n(n?1), 即个交点。 22例2．符号n！表示正整数从1到n的连乘积，读作n的阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数） 解：当n ＝1时，3n＝3, （n＋1）！＝1×2＝2 当n ＝2时，3n＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6 当n ＝3时，3n＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24 当n ＝4时，3n＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120 当n ＝5时，3n＝243, （n＋1）！＝6！＝720 ?? 猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。 例3 求适合等式x1+x2+x3＋?+x2003=x1x2x3?x2003的正整数解。 第 44 页 （共 65 页） 分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个??直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2 x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 ???? 由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋?+x2003=x1x2x3?x2003的正整数解为x1=x2=x3＝??=x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。 练习十四 1． 除以3余1的正整数中，一位数有__________个，两位数有__________个，三 位数有__________个，n位数有__________个。 2． 十进制的两位数a1a2可记作10a1＋a2,三位数a1a2a3记作100a1+10a2+a3,四位数 a1a2a3a4记作__________，n位数__________记__________ 3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43 ＝（__________）2 ,13＋__________＝152，13＋23＋?＋n3=(__________ )2。 4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） ①111?1－222?2＝（_______）2；111?1－222?2＝（_______）2。 ????????????????10个15个22n个1n个222 66②111＝（________）；＝（__________）?155???511?1155???5????????????10个19个5（n+1)个1n个5 5． 把自然数1到100一个个地排下去：123??91011??99100 ① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少？ 6．计算 1111＋＋＋?＋＝______ 11?1212?1313?1419?20 （提示把每个分数写成两个分数的差） 第 45 页 （共 65 页）
初中数学竞赛辅导资料（初一用）
