就是它们的交集(A、B两种都订的人数集合)。 ∴只订A种刊物的人数是28-6=22人; A=28B=21只订B刊物的人数是21-6=15人;
AB只A只B小组总人数是22+15+6+1=44人。
62215设N,N(A),N(B),N(AB),N
分别表示总人数,订A种、B种、AB两种、都不订的人数,则得 [公式一]N=N+ N(A)+N(B)-N(AB)。
例4.在40名同学中调查,会玩乒乓球的有24人,篮球有18人,排球有10人,同
时会玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人,三种球都会的只有1人,
问:有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球? 解:仿公式一,得[公式二]: N=N+ N(A)+N(B)+N(C)-N(AB)-N(AC)-N(BC)+N(ABC) ①只会打乒乓球的是24-6-4+1=15(人) AAB24 6②求N(BC)可用公式二:
ACABC∵40=24+18+10-6-4-N(BC)+1
4 1∴N(BC)=3, 即同时会打篮球和排球的是3人 C 10③只会打排球的是10-3-1=6(人)
例5. 十进制中,六位数19xy87能被33整除,求x和y的值 解:∵0≤x,y≤9, ∴0≤x+y≤18, -9≤x-y≤9,x+y>x-y
∵33=3×11,
∴1+9+x+y+8+7的和是3的倍数,故x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8)-(9+y+7)是11的倍数, 故x-y=-4,7
∵x+y和x-y是同奇数或同偶数,∴它们的交集是下列四个方程组的解:
B18?x?y?8?x?y?14?x?y?11, ,, ????x?y??4?x?y??4?x?y?7解得??x?y?17 ??x?y?7?x?2,
?y?6?x?5, ??y?9?x?9 , ??y?2?x?12 ??y?5(x=12不合题意舍去)
答:x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2
练习十二
1、负数集合与分数集合的交集是________
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2、等腰直角三角形集合是________三角形集合与________三角形集合的交集。 3、12的正约数集合A={ },30的正约数集合B={ } 12和30的公约数集合C={ },集合C是集合A和集合B的________ 4、解下列不等式组并把解集(不是空集)表示在数轴上:
?1??x?2?x?2?0?3x?6?x??1①? ②? ③?3 ④?
5x?0x?2?0?x??5??????2x??2
5、某数除以3余1,除以5余1,除以7余2,求某数的最小值。
6、九张纸各写着1到9中的一个自然数(不重复),甲拿的两张数字和是10,乙拿的两张数字差是1,丙拿的两张数字积是24,丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少?
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7、求符合如下三条件的两位数:①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
8、据30名学生统计,会打篮球的有22人,其中5人还会打排球;有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人?②只会打排球是几人?
9、100名学生代表选举学生会正付主席,对侯选人A和B进行表决,赞成A的有52票,赞成B的有60票,其中A、B都赞成的有36人,问对A、B都不赞成的有几人?
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10. 数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计,数学24人,物理18人,化学10人;按两科统计,参加数理、数化、理化分别是13、4、5人,没有三科都参加的人。求参赛的总人数,只参加数学科的人数。(本题如果改为有2人三科都参加呢?)
11. x?y?3?x?y?5?0
12. 十进制中,六位数1xy285能被21整除,求x,y的值(仿例5)
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第十三讲 用枚举法解题
一、内容提要
有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。列举解答要注意: ① 按一定的顺序,有系统地进行;
② 分类列举时,要做到既不重复又不违漏;
③ 遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手,由列举中找到规律。 二、例题 1 1 N例1 如图由西向东走, 43A11B从A处到B处有几 PC134种走法? M 1 1 解:我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目,例如 从A到C有三种走法,在C处标上3, 从A到M(N)有3+1=4种, 从A到P有3+4+4=11种,这样逐步累计到B,可得1+1+11=13(种)走法
例2 写出由字母X,Y,Z中的一个或几个组成的非同类项(系数为1)的所有四
次单项式。
解法一:按X4,X3,X2,X,以及不含X的项的顺序列出(如左) 解法二:按X→Y→Z→X的顺序轮换写出(如右)
X4 , X 4 , Y4 , Z4 X3Y, X3Z, X3Y , Y3Z , Z3X X2Y2, X2Z2, X2YZ, X3Z , Y3X, Z3Y XY3, XZ3, XY2Z, XYZ2, X2Y2, Y2Z2 , Z2X2
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初中数学竞赛辅导资料(初一用)
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