② 当
a1b1c1（∵两个方程是矛盾的） ??时，方程组无解。
a2b2c2a1b1?（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2③ 当
c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ? （这个解可用加减消元法求得）
ca?ca?y?2112?a1b2?a2b1?2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），
再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 二、例题
例1. 选择一组a,c值使方程组??5x?y?7
?ax?2y?c① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。
解得a=10, c≠14。
③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
?x?y?a例2. a取什么值时，方程组? 的解是正数？
5x?3y?31?解：把a作为已知数，解这个方程组
31?3a??31?3ax??0??x?0???22得? ∵? ∴?
5a?315a?31?y?0?y???0??2??2第 31 页 （共 65 页）
?a???解不等式组得??a???答：当a的取值为6
31113 解集是6?a?10
5331511?a?10时，原方程组的解是正数。 53?2x?my?4例3. m取何整数值时，方程组?的解x和y都是整数？
x?4y?1?8?x?1???m?8解：把m作为已知数，解方程组得?
2?y??m?8?∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z粒,依题意得
?x?y?z?100??(1)? 1?3x?4y?z?100(2)?7?由（1）得x= 100－y－z (3)
把（3）代入（2），整理得 y=－200+3z－设
z 7z
?k(k为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k 7
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100?k???300?27k?09??∵x,y,z都是正整数∴??200?20k?0解得?k.?10（k是整数）
?7k?0?k.?0???∴10＜k<111, ∵k是整数， ∴k=11 9即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)
练习十一
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
?3x?5y?1?x?2y?3?2x?y?3① ? ②? ③?
3x?5y?13x?6y?94x?2y?3???
2??x?3y?a?a?12． a取什么值时方程组?的解是正数？ 2??9x?6y?9a?2a?2
?x?2y?5?a3． a取哪些正整数值，方程组?的解x和y都是正整数？
3x?4y?2a?
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?x?ky?k4． 要使方程组?的解都是整数， k应取哪些整数值？
x?2y?1?
5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱
买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
第十二讲 用交集解题
一、内容提要
1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6
的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10??｝，它的个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
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例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合， 正正整整数右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 数数集集的公共部分，是它们的交集——正整数集。 集不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 ?2x?6?(1)例如不等式组?解的集合就是
?x?2?(2)?不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.
如数轴所示：
03 2
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2） 二、例题
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。 解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，??｝ 除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，??｝ 除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，??｝ 集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个
数。
解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数
它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；
其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23，17；43，37；53，47；73，67共四组。
例3.数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分
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