7、已知方程
8、m取什么整数值时，方程(
9、已知方程
3x?6a?2?1?的根是正数，那么a、b应满足什么关系？ 42x2?1)m?1?m的解是整数? 33b3(x?1)?1?ax有无数多解，求a、b的值。 22
第十讲 二元一次方程的整数解
一、内容提要
1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。
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例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2、二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解
1?11y1?y?10y1?y??2y (1) , =
5551?y?k(k是整数） 设，则y=1-5k (2) , 5解：x=
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
?x?11k?2∴原方程所有的整数解是?（k是整数）
y?1?5k?方法二：公式法： 设ax+by=c有整数解
?x?x0?x?x0?bk则通解是（x0,y0可用观察法） ??y?y0??y?y0?ak3、 求二元一次方程的正整数解：
① 求出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。
二、例题
例1求方程5x－9y=18整数解的通解
18?9y15?10y?3?y3?y??3?2y? 5553?y?k（k为整数）设，y=3－5k, 代入得x=9－9k 5解：x=
∴原方程整数解是??x?9?9k （k为整数）
?y?3?5k又解：当x=o时，y=－2，
?x?0?9y?x?0∴方程有一个整数解?它的通解是?（k为整数）
y??2?5ky??2?? 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2求方程5x+6y=100的正整数解
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解：x= 设
100?6yy?20?y?(1)， 55y?k(k为整数)，则y=5k,(2) 5把（2）代入（1）得x=20-6k， ∵??x?0?20?6k?0 解不等式组? y?05k?0??20,k的整数解是1，2，3， 6得0＜k<
∴正整数解是??x?2?x?14?x?8，?，? ?y?10?y?15?y?5例3甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得
3x+5y=38 （x,y都是正整数） ∵x＝1时，y=7，∴??x?1是一个整数解
?y?7∴通解是??x?1?5k（k为整数）
y?7?3k??1?5k?017得解集是??k? ∴整数k=0，1，2
53?7?3k?0?x?1?x?6?x?11，?，?
y?1y?7y?4???解不等式组?把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解?答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
练习十
1、求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
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2、求方程的正整数解：①5x+7y=87 ②5x+3y=110
3、一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4、兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：________ （填编号）
①4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.
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6、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多得几分？
7、用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解： y= x=
1 4 －2 1?7y? 3第十一讲 二元一次方程组解的讨论
一、内容提要 1． 二元一次方程组??a1x?b1y?c1的解的情况有以下三种：
?a2x?b2y?c2① 当
a1b1c1（∵两个方程等效） ??时，方程组有无数多解。
a2b2c2第 30 页 （共 65 页）
初中数学竞赛辅导资料（初一用）
