6、下列说法正确吗？为什么？ ① a的倒数是
13 ②方程（a－1）x＝3的解是x＝ aa?1③ n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数
④ 如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理数 )
7、x取什么值时，下列代数式的值是正数？
① x（x－1） ② x（x＋1）（x＋2）
第五讲 an 的个位数
一、内容提要
1. 整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。
3. 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：
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底 数 2 3 7 指 数 1 2 3 7 2 4 9 9 3 8 7 3 4 6 1 1 5 2 3 7 6 4 9 9 7 8 7 3 8 6 1 1 9 2 3 7 10 4 9 9 ?? ?? ?? ?? 其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1
＋＋＋
与21，24k2与22，24k3与23，24k4与24的个位数是相同的（K是正整数）。 3和7也有类似的性质。
4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，
8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：
＋
a4km与am的个位数相同(k,m都是正整数)。
二、例题
例1 20032003的个位数是多少？
解：20032003与32003的个位数是相同的，
∵2003＝4×500＋3，
∴32003与33的个位数是相同的，都是7， ∴2003的个位数是7。
例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由 解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2
∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0， ∴632000＋1472002的和能被10整除。
例3 k取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？ 解：列表观察个位数的规律 k＝ 3的个位数 2的个位数 3k＋2k的个位数 1 3 2 5 2 3 9 7 4 8 5 4 1 6 ?? ?? ?? ?? 从表中可知，当k＝1，3时，3k＋2k的个位数是5，
∵am与a4n+m 的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数） ;∴当k为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。
练习五
1、在括号里填写各幂的个位数（k是正整数）
220 的个位数是 （ ） 45 的个位数是（ ） 330的个位数是 （ ） 87 的个位数是（ ）
74K+1的个位数是 （ ） 311＋79 的个位数是（ ）
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216×314的个位数是（ ） 32k-1＋72k-1的个位数是（ ） 72k－32k的个位数是（ ） 74k-1－64k-3的个位数是（ ） 7710×3315×2220×5525的个位数是（ ）
2、目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是_______。 3、说明如下两个数都能被10整除的理由。
① 5353－3333 ② 19871989－19931991
4、正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？
5、设n是正整数，试说明2 n ＋7n+2能被5整除的理由。
6、若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是_______ 若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是_______ 若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是_______ 若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是_______ 7、 12+22+32+??+92的个位数是_______，
12+22+32+??+192的个位数是_______，
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12+22+32+??+292的个位数是_______。
8、 a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（ ） （A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321
第六讲 数学符号
一、内容提要
数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为：
1、元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示圆和三角形等。
2、关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。 3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4、逻辑符号：略
5、约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a和b中，如果a除以b的商的
aa），而它的余数记作R（）， 那么 bb1010Z（）＝3，R（）＝1；又如设?x?表示不大于x的最大整数，那么?5.2?＝
33整数部分记作Z（
5，??5.2?＝－6，??＝0，??3?＝－3。
3正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）
对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。
在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 二、例题
例1设?Z?表示不大于Z的最大整数，＜n＞为正整数n除以3的余数 计算：
①?4.07?＋??2?－〈13〉＋〈2004〉
7?2?????3??②〈?14.7?〉＋???34?? ??2?第 14 页 （共 65 页）
解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0
②原式＝＜14＞＋??＝2＋0＝2
2例2①求19871988的个位数
②说明19871989－19931991能被10整除的理由 解：设N（x）表示整数x的个位数
×
① N（19871988）＝N（74497）＝N（74）＝1
×＋×＋
②∵N（19871989）－N（19931991）＝N（744971）－N（344973）
＝N（71）－N（33）＝7－7＝0 ∴19871989－19931991能被10整除
由于引入辅助符号，解答问题显得简要明了。 例3.定义一种符号★的运算规则为：a★b=2a+b 试计算：①5★3 ②（1★7）★4 解：①5★3＝2×5＋3＝13
②（1★7）★4＝（2×1＋7）★4＝9★4＝2×9＋4＝22 例4 设a※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x 解：由题设可知：
等式3※x=2※(-8)就是3（3x＋7）＝2〔2×（－8）＋7〕 ∴9x+21=－18
∴x=－4
?1???
1 3
练习六
1、 设Q＜x >表示有理数x 的整数部分，那么Q＜2.15＞＝_______， Q＜－12.3＞=_______， Q<－0.03＞＝_______，Q＜
1＞＝_______。 52、设｛n｝表示不小于n的最小整数，那么｛4.3｝＝_______，｛－2.3｝＝_______，｛－2｝＝_______，｛－0.3｝＋｛0.3｝＝_______。 3、设?m?表示不大于m的最大整数
①若m=2，则?m?= _______ ② 若n= －3.5，则?n?=_______ ③若－1＜y＜0，则?y?＝_______ ④若7≤b<8，则?b?＝_______ ⑤若?x?=4，则_____≤x＜______ ⑥若n≤C a）余数记作 b第 15 页 （共 65 页）
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