9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果每步跨4阶，那么最后剩3阶；如果每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
第三讲 质数 合数
一、内容提要
1、正整数的一种分类：
?1? ?质数
?合数? 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 2、 根椐质数定义可知
① 质数只有1和本身两个正约数。 ② 质数中只有一个偶数2。
如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2； 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 二、例题
例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)，求这两个数。 解：∵两个质数的和等于奇数 ∴必有一个是2
所求的两个质数是2和a－2。
例2已知两个整数的积等于质数m, 求这两个数。 解：∵质数m只含两个正约数1和m,
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又∵（－1）（－m）=m
∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.
例3已知三个质数a,b,c它们的积等于30，求适合条件的a,b,c的值。 解：分解质因数：30＝2×3×5
?a?2?a?2?a?3?a?3?a?5?a?5?????? 适合条件的值共有： ?b?3，?b?5，?b?2，?b?5，?b?2，?b?3
?c?5?c?3?c?5?c?2?c?3?c?2??????应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于
210,即abcd=2×3×5×7，那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。 例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。 解：（本题答案不是唯一的）
设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5 那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数
即32，33，34，35就是所求的一组数。
本题可推广到n 个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2， N＋3，N＋4，??N＋（n+1）就是所求的合数。
练习三
1、小于100的质数共___个，它们是__________________________________ 2、已知质数P与奇数Q的和是11，则P＝_______，Q＝_______ 3、已知两个素数的差是41，那么它们分别是______________
4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是______________； 如果两个整数的积等于73，那么它们是______________； 如果两个质数的积等于15，则它们是______________。 5、两个质数x和y，已知xy=91,那么x=_______,y=_______,或x=_______,y=_______.
?a?______?6、三个质数a,b,c它们的积等于1990，那么 ?b?______
?c?______?7、能整除311＋513的最小质数是_______
8、已知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M，求M及
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AB＋的值。 BA
9、试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。
10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？
11、求适合下列三个条件的最小整数：
① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数
12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是_______
13、一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是_______。
第四讲 零的特性
一、内容提要
（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 是自然数，是整数，是偶数。
1、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支平衡可记作结存0元。 2、零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0
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零
记作 a＞0 ? a是正数 读作a＞0等价于a是正数 b<0 ? b 是负数
c≥0 ? c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）
d≤0 ? d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) e?0 ? e不是0（即e不是0，而是负数或正数） 3、在一切非负数中有一个最小值是0。
例如 绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，
a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4、在一切非正数中有一个最大值是0。
例如 －|x|≤0，当x＝0时，－|x|值最大，是0（∵x≠0时都是负数）。
≤0，当x＝2时，?(x?2)2的值最大，是0。 ?(x?22)（二）零具有独特的运算性质
1、乘方：零的正整数次幂都是零。
2、除法：零除以任何不等于零的数都得零；
零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3、乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0，
反过来，如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4、加法：互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。 即a、b互为相反数?a+b=0
5、减法：两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定， 若a-b=0,则a=b；若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a 例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下： 1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605 二、例题 例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？ 答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商 是－1。 例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？ 第 9 页 （共 65 页） 答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。 例3．要使下列等式成立x、y应取什么值？为什么？ ①x（y－1）＝0， ② ｜x－3｜＋（y＋2）2＝0 答：①根据任何数乘以0都得0，可知当x＝0时，y可取任何数； 当y＝1时，x取任何数等式x（y－1）＝0都是能成立。 ②∵互为相反数相加得零，而｜x－3｜≥0，（y＋2）2≥0， ∴它们都必须是0，即x－3＝0且y＋2＝0， 故当x＝3且y＝－2时，等式｜x－3｜＋（y＋2）2＝0成立。 练习四 1、有理数a和b的大小如数轴所示: b0a 比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号连接） 2a_______ 0, －3b_______ 0, 12_______ 0, －_______0， abaa_______ 0, _______ 0 b?b －a2 _______ 0,－b3_______ 0, a+b_______ 0, a－b_______ 0, ab_______ 0, (－2b)3_______ 0, 2、a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：_______个。 a>a, a2> －a2, a>－a, a+1>a 3、x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：_______句。 ①（x－2）2有最小值0， ③ －｜x+3|有最大值0， ② 2－x2有最大值2， ④ 3＋｜x－1｜有最小值3。 4、绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 5、要使下列等式成立，字母x、y应取什么值？ ① 第 10 页 （共 65 页） 02＝0， ②x(x?3)＝0， ③x?1＋(y?3)＝0 x
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