7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小. 8．如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中，两边
涂色的有______个，一边涂色的有______个，四边都不着色的有_____个。
本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有_____个，一边涂色的有____个，四边都不着色的有______个 9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有______个，两面涂色的有_______个，一面涂色的有________个，四面都不涂色的有_________个。
本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有_________个，两面涂色的有__________个，一面涂色的有________个，四面都不涂色的有_________个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成________块，其中不带皮的有__________块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是________，_________。
第十五讲 乘法公式
一、内容提要
1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直
接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2?ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广：
① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ????
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注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ????
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
－－－－－
(a+b)(a2n1－a2n2b+a2n3b2－?＋ab2n2－b2n1)=a2n－b2n
－－－
(a+b)(a2n－a2n1b+a2n2b2－?－ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：
－－－－－
（a－b）(an1+an2b+an3b2+?＋abn2+bn1)=an－bn 4. 公式的变形及其逆运算
由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时 an－bn能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二、例题
例1. 已知x+y=a xy=b
求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5 解： ①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b
②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab
③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2 ④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4) =(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］ =a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］ ＝a5－5a3b+5ab2
例2. 求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2 ∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数 ∴a2+3a+1是整数 证毕 例3. 求证：2222＋3111能被7整除
证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111
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根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4） ∴4111＋3111能被 4＋3整除 ∴2222＋3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。 如：152=225 幂的百位上的数字（2=1×2)， 252=625 (6=2×3)，
352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5) ??
练习十五
1． 填空：
①a2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b)2+___ ③a3+b3=(a+b)3－3ab(___) ④a4+b4=(a2+b2)2－____ ,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____ 2． 填空：
①(x+y)(___________)=x4－y4 ②(x－y)(__________)=x4－y4
③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④（x－y）(__________)=x5－y5 3.计算：
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74= 5.已知x+
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1111=3, 求①x2+2 ②x3+3 ③x4+4的值 xxxx6、 化简：
①（a+b）2(a－b)2 ②(a+b)(a2－ab+b2)
③(a－b)(a+b)3－2ab(a2－b2)
④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)
7.已知a+b=1, 求证：a3+b3+3ab=1
8.已知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值
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9.求证：233＋1能被9整除
10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方
11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们 的直径分别是a,b,c
① 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 bc② 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。 a
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初中数学竞赛辅导资料（初一用）
