初中数学竞赛辅导资料
第一讲 数的整除
一、内容提要：
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征 除 数 2或5 4或25 3或9 11 7,11,13 能被整除的数的特征 末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 8或125 末三位数能被8或125整除 能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题
例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵5y7能被9整除，∴y=6. ∵328＋2x9＝567，∴x=3 例2已知五位数1234x能被12整除，求x
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8
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∴x＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一
1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）
①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2、若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________ 3、若五位数12x34能被11整除，那么x＝__________ 4、当m=_________时，35m5能被25整除 5、当n=__________时，9610n能被7整除
6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3
整除的数共有几个？为什么？
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11、已知五位数1234A能被15整除，试求A的值。
12、求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13、在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是______（1989年全国初中联赛题）
第二讲 倍数 约数
一、内容提要
1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整
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数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。
3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，??都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，??。
4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。
例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。 二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。 解：列表如下 正 整正约数 数 2 22 23 24 1，2 个 数 计 2 正 整正约数 数 3 32 33 34 个正 数整 计 数 2 正约数 1，2， 3，6 1，2，3， 4，6，12 个数计 4 6 1，3 2×3 22×3 22×32 1，2，4 3 1，2， 4，8 4 1，3，321，3， 32，33 3 4 1，2，3， 9 4，6，9， 12，18，36 1，2，4， 5 8，16 1，3，32， 5 33，34 其规律是：设A＝ambn(a，b是质数,m，n是正整数)，那么合数A的正约数的个数
是（m+1）(n+1)
例如求360的正约数的个数
解：分解质因数：360＝23×32×5，
360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个） 例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6
最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360 例3已知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数
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∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。 解： ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359
练习二
1、12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2、分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______，最大三位数是________ 6、已知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________ 7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。
8、一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
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初中数学竞赛辅导资料（初一用）
