1 绝对值三角不等式
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．设ab＞0，下面四个不等式：①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|中，正确的是( ) A．①和② B．①和③ C．①和④
D．②和④
解析：∵ab＞0，①|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a|，正确； ②|a＋b|＝|a|＋|b|＞|b|，所以②错； ③|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|，所以③错； ④|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|≥|a|－|b|，正确． 所以①④正确，应选C. 答案：C
2．已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|
D．m≥2
解析：∵|x－5|＋|x－3|≥|x－5＋3－x|＝2， ∴|x－5|＋|x－3|的最小值为2. ∴要使|x－5|＋|x－3|
3．已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a|＋|b|
|a－b|，n＝|a＋b|，则m，n之间的大小关系是( A．m>n B．m D．m≤n 解析：令a＝3，b＝2，则m＝1，n＝1；令a＝－3，b＝2，则m＝1 5，n＝5， ∴n≥m，选D. 答案：D 4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是( ) A．1，x∈[－1,2] B．3,0 C．3，x∈[－1,2] D．2，x∈[1,2] 解析：运用含绝对值不等式的基本性质有|x＋1|＋|x－2|＝ |x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3. 当且仅当(x＋1)(2－x)≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件， ) 1 ∴－1≤x≤2. 答案：C 5．下列不等式中恒成立的个数是( ) 1 ①x＋≥2(x≠0)； x②<(a>b>c>0)； ③ ccaba＋ma>(a，b，m>0，a 解析：①不成立，当x<0时不等式不成立； ②成立， B．3 D．1 a>b>0? ab11>即>， ababba又由于c>0， 故有>； ③成立，因为 ccbaa＋mab－ama＋ma－＝>0(a，b，m>0，a 6．已知|a＋b|<－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式： ①a<－b－c；②a>－b＋c；③a ∴a<－b－c，a>－b＋c，①②成立， |a|－|b|<|a＋b|<－c， ∴|a|<|b|－c，④成立． 答案：①②④ 7．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________． 解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立． 答案：2 2 8．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________． 解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5| ≥|4－x＋x＋5|＝9. ∴当a<9时，不等式对x∈R均成立． 答案：(－∞，9) 9．若f(x)＝x2 －x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2 －x＋c)－(a2 －a＋c)| ＝|x2 －x－a2 ＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1| ＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值； (2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围． 解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0， 即|x－1|＋|x－5|＞a， 设g(x)＝|x－1|＋|x－5|， 由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4， 可知g(x)min＝4， ∴f(x)min＝log2(4－2)＝1. (2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4. ∵|x－1|＋|x－5|－a>0， ∴a [B组 能力提升] 1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( ) A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小 解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2. 当(a＋b)(a－b)<0时， |a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2. 答案：B 2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3 解析：∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1， |y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2， ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3. ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3. 答案：C 3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________． 解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)| ≤|x－1|＋|2 (y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5， 即|x－2y＋1|的最大值为5. 答案：5 4．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数： ①f(x)＝0；②f(x)＝x；③f(x)＝2(sin x＋cos x)；④f(x)＝ 2 x；⑤f(x)是定义 x2＋x＋1 在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|.其中是F函数的序号是________． |fx解析：由|f(x)|≤m|x|，当x≠0时，知m≥|x||f22 取m>0即可；对于②，由|x|＝|x|，∴ |2si ＝|f，对于①，有x|x| ＝0，x≠0，故 x|x| ＝|x|，无最大值；对于③，由f(x)＝2sin(xπ|fx＋)，而4|x| x＋ |x| π 4 |f无最大值；对于④，由 x|x| ＝ 14 ≤，x≠0， x＋x＋13 2 4 只要取m＝即可； 3 对于⑤，令x2＝0，x1＝x，由f(0)＝0，知|f(x)|≤2|x|. 答案：①④⑤ 5．对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m，求m的值． 解析：不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤ |a＋b|＋|a－b| 对于任意的实数 |a| a(a≠0)和b恒成立， 即左边恒小于或等于右边的最小值． 因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|， 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立， 即|a|≥|b|时，等号成立， 4 也就是|a＋b|＋|a－b||a|的最小值是2. 所以m＝2. 6．已知|x1－2|<1，|x2－2|<1. (1)求证：2 －x＋1，x1≠x2， 求证：|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|. 证明：(1)∵|x1－2|<1，|x2－2|<1， ∴2－1 |x1－x2|＝|(x1－2)－(x2－2)| ≤|x1－2|＋|x2－2|<1＋1＝2， 即|x1－x2|<2. (2)∵f(x)＝x2 －x＋1， ∴|f(x22 1)－f(x2)|＝|x1－x1－x2＋x2| ＝|(x1－x2)·(x1＋x2－1)| ＝|x1－x2|·|x1＋x2－1|， 由(1)知2 ∴|x1－x2|<|x1－x2|·|x1＋x2－1|<5|x1－x2|，即|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.欢迎下载！ 5
【新】2024高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式绝对值三角不等式优化练习选修4
