[A组 基础巩固]
1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A．三角形 C．平行四边形
B．梯形 D．矩形
解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C. 答案：C
2．在R上定义运算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则( ) A．－1 22 B．0 D．－ 22 解析：由题意得，(x－a)(1－x－a)<1，即x2－x－(a2－a－1)>0对于任意x恒成立，所以Δ＝113 ＋4(a2－a－1)<0，解得－ 22答案：C xy 3．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到 ab空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的方程为( ) xyz A.＋＋＝1 abc xyyzzx C.＋＋＝1 abbcca xyz 解析：由类比推理可知，方程应为＋＋＝1. abc答案：A 4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( ) A．一条中线上的点，但不是重心 B．一条垂线上的点，但不是垂心 C．一条角平分线上的点，但不是内心 D．中心 解析：由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心． 答案：D - 1 - xyz B.＋＋＝1 abbcacD．ax＋by＋cz＝1 5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝ 2S ，a＋b＋c 类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r等于( ) V A. S1＋S2＋S3＋S43V C. S1＋S2＋S3＋S4 2V B. S1＋S2＋S3＋S44V D. S1＋S2＋S3＋S4 解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 1 则四面体的体积为V四面体S-ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R， 33V ∴R＝. S1＋S2＋S3＋S4答案：C ? 6．类比平面直角坐标系中△ABC的重点G(x，y)的坐标公式?y＋y＋y y＝?3 1 2 x1＋x2＋x3x＝ 3 3 (其中A(x1， y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1、y1、z1)、B(x2、y2、z2)、C(x3、y3、z3)、D(x4、y4、z4)为顶点的四面体A-BCD的重点G(x，y，z)的公式为________． ??y＋y＋y＋y答案：?y＝ 4 z＋z＋z＋z?z＝?4 1 2 3 1 2 3 x1＋x2＋x3＋x4x＝ 4 4 4 7．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． V1S1h1111解析：＝·＝×＝. V2S2h2428答案：1∶8 8．有如下真命题：“若数列{an}是一个公差为d的等差数列，则数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为3d的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是 (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)． 解析：可将加法类比为乘法，将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论． - 2 - 答案：“若数列{bn}是公比为q的等比数列，则数列{bn·bn＋1·bn＋2}是公比为q3的等比数列” 9．在△ABC中，余弦定理可叙述为a2＝b2＋c2－2bccos A，其中a、b、c依次为角A、B、C的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想． 解析：如图，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α、β、γ依次表示平面PAB与平面PBC，平面PBC与平面PCA，平面PCA与平面ABP 22之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S2＝S21＋S2＋S3－ 2S1S2cos α－2S2S3cos β－2S3S1cos γ. 10.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． 解析：如图所示，在四面体P-ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ. [B组 能力提升] 1 1．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利 2用类比推理可以得出四面体的体积为( ) 1 A．V＝abc 31 B．V＝Sh 3 1 C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径) 31 D．V＝(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高) 3 解析：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A-BCD的内切球的球心为O，连接 - 3 -
2021北师大版数学选修1-2课后巩固提升：第三章 1.2 类比推理
