数列通项公式的十种求法
（1）公式法（构造公式法）
n例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。
an?1an3an?1an3an，则，故数列????{}是
2n?12n22n?12n22nan3a23以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，?1?(n?1)??1n12222231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。
22n解：an?1?2an?3?2两边除以2n?1，得
n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2转化为
an?1an3??，说明数列2n?12n2aan3是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{n}?1?(n?1)nn222{an}的通项公式。
（2）累加法
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?2?1)?(2?1?1)?1
?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n22所以数列{an}的通项公式为an?n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
n变式：已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
（3）累乘法
n例3已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1??an?1an?2?a3a2??a1a2a1?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3
?2?1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]??2n?1[n(n?1)??3?2n?1?3?2]?5(n?1)?(n?2)??n!n?1?3?5n(n?1)2所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
n评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5?an转化为
an?1?2(n?1)5n，进而求an出
anan?1??an?1an?2?a3a2??a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1?(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通
，an?a1?2a2?3a3?变式：已知数列{an}满足a1?1项公式。
（4）待定系数法
n例4已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。
解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④
nnn?1n将an?1?2an?3?5代入④式，得2an?3?5?x?5?2an?2x?5，等式两边消去
2an，得3?5n?x?5n?1?2x?5n，两边除以5n，得3?5x?2x,则x??1,代入④式得an?1?5n?1?2(an?5n)
⑤
an?1?5n?1n{a?5}是以由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则，则数列?2nnan?51na1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，故an?2n?1?5n。
nn?1n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5转化为an?1?5?2(an?5)，nn从而可知数列{an?5}是等比数列，进而求出数列{an?5}的通项公式，最后再求出数列
{an}的通项公式。
变式：
n①已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。
2②已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。
（5）对数变换法
n5例5已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
n5n5解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取
常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)
⑩ 11 ○
将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg3?lg2?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)，两边消去
5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则
lg3?x???lg3?x?5x?4，故 ??lg3lg2x?y?lg2?5y??y???164?代入○11式，得lgan?1?lg3lg3lg2lg3lg3lg212 (n?1)???5(lgan?n??) ○
41644164
数列通项公式的十种求法(非常经典)
