2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题分析及答案
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2007年全国硕士入学统考数学(二)试题及答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）当?Skip Record If...?→?Skip Record If...?时，与?Skip Record If...?等价的无穷小量是
(A) ?Skip Record If...?. (B) ?Skip Record If...? (C) ?Skip Record If...?. (D) ?Skip Record If...?. [ Ｂ ]
【分析】 ?Skip Record If...??Skip Record If...?～?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
?Skip Record If...??Skip Record If...?～?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
?Skip Record If...?～?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?
因此选（Ｂ）
（2）函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上的第一类间断点是?Skip Record If...?
(A) 0. (B) 1 (C) ?Skip Record If...?. (D)?Skip Record If...?. [ A ]
【分析】 ?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?的第一类间断点。选（A）。
（3）如图,连续函数?Skip Record If...?在区间[－3, －2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周。设?Skip Record If...?，则下列结论正确的是
（A）?Skip Record If...?
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(B) ?Skip Record If...?
(C) ?Skip Record If...? (D) ?Skip Record If...? [ C ]
【分析】注意，大、小半圆的面积分别为?Skip Record If...?与?Skip Record If...?。 按定积分的几何意义知，当?Skip Record If...?时?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时?Skip Record If...?。
?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
因为?Skip Record If...?为奇函数?Skip Record If...?为偶函数。 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 因此 ?Skip Record If...? 选（C）
（4）设函数?Skip Record If...?在x=0处连续，下列命题错误的是
(A) 若?Skip Record If...?存在，则?Skip Record If...? (B) 若?Skip Record If...?存在，则?Skip Record If...? (C) 若?Skip Record If...?存在，则?Skip Record If...?存在 (D) 若?Skip Record If...?存在，则?Skip Record If...?存. [ D ] 【分析】 设?Skip Record If...?，则
?Skip Record If...?存在，但?Skip Record If...?不存在
因此（D）是错误的。选（D）。 (5) 曲线?Skip Record If...?渐进线的条数为
(A) ０. (B) １. (C) ２. (D) ３. 【分析】 只有间断点?Skip Record If...?．由于 ?Skip Record If...?故?Skip Record If...?为垂直渐进线. 又 ?Skip Record If...?
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故?Skip Record If...?时有水平渐进线?Skip Record If...? 又 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
故?Skip Record If...?时有渐进线?Skip Record If...? 因此选(D).
（6）设函数?Skip Record If...?在（0，+∞）上具有二阶的导数，且?Skip Record If...?令?Skip Record If...?，则下列结论正确的是
(A) 若?Skip Record If...?则?Skip Record If...?必收敛。 (B) 若?Skip Record If...?则?Skip Record If...?必发散。
(C) 若?Skip Record If...?则?Skip Record If...?必收敛。 (D) 若?Skip Record If...?则?Skip Record If...?必发散。 [ D ]
【分析】 由?Skip Record If...?单调上升。?Skip Record If...?只有以下三种情况： （1）?Skip Record If...?
?Skip Record If...??Skip Record If...?在（0，?Skip Record If...?）↘，在?Skip Record If...?↗,又?Skip Record If...?时
?Skip Record If...?
（2）对所有?Skip Record If...?↗且?Skip Record If...? （3）对?Skip Record If...?↘，则
或?Skip Record If...?。 如， ?Skip Record If...?
?Skip Record If...?↘，?Skip Record If...? 又如， ?Skip Record If...?
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?Skip Record If...?↘但?Skip Record If...? ?Skip Record If...?不正确
由（1），（2）?Skip Record If...?（C）不正确，而（D）正确。因此，选（D）。
（7）二元函数?Skip Record If...?在点(0,0)处可微的一个充分条件是 (A) ?Skip Record If...? . (B) ?Skip Record If...?. (C) ?Skip Record If...? (D) ?Skip Record If...?. [ C ]
【分析】 按可微性定义，?Skip Record If...?在(0,0)可微?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
?Skip Record If...?其中A，B是与?Skip Record If...?无关的常数。
题中（C）即A=B=0的情形。因此由（C）?Skip Record If...?在(0,0)可微，因此选（C）。
（8）设函数?Skip Record If...?连续,则二次积分?Skip Record If...?等于
(A) ?Skip Record If...? (B) ?Skip Record If...? (C) ?Skip Record If...?. (D) ?Skip Record If...? [ B ] 【分析】 这是交换积分顺序的问题。先将二次积分表成 ?Skip Record If...??Skip Record If...? 由累次积分限确定区域D如图所示。
记?Skip Record If...?的反函数是?Skip Record If...?，则改换积分顺序得 ?Skip Record If...?
由此知（C），（D）不正确
现在的关键是求出?Skip Record If...?的反函数： ?Skip Record If...?
因此?Skip Record If...?. 选（B）
. （9）设向量组?Skip Record If...?线性无关，则下列向量组线性相关的是
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