高二物理竞赛 第2讲
电容、电介质、电能
知识点睛
电容的定义是：找到两块金属板（等势面），令其中一块带上?Q，一块带?Q，这时候两极板电势差为U，电容C?Q。如果只说某个物体的电容，一般把大地当作另一个极板。这也就形成了我们U求电容的一般思路：给定电势求电荷；给定电荷求电势。注意：讲电容的时候，我们总要求一个极板上发出的电场线回到另一个极板，这也就保证了两个极板上电荷大小相等。 常见的几种电容例如平行板电容、球型电容、同心圆柱电容、同心球电容等是基本知识点，应当熟练掌握。
电容电压电荷
【例1】 两块正方形的极板，边长为L，相对放置，间距为d构成电容器，d??L。各充电?Q之后保
持绝缘。求做如下操作之后两个极板之间的电势差。 a) 将极板沿着一条边错动小距离?L
b) 将一个极板绕着一条边转动一个小角度?，并使得?L??d c) 一个小金属球，半径为r??d，质量为m（重力可以忽略）。开始位于一个极板负极内侧，由
于静电感应作用，带上负电，然后受到电场力作用飞向正极板，发生非完全弹性碰撞并重新达到经典平衡。经过时间t之后，求两极板之间的电势差。
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电容里的受力与能量
两个极板间的被放上其他电荷，电荷的受力为F?Eq。如果考虑极板自己的受力，则F?Eq。2我们知道，在考虑一个电荷受力时，不能算自己的电场，所以在考虑某极板的受力时，只能算另一极板产生的电场，刚好为两极板间电场的一半。同时由高斯定理易得，无穷大板产生的电场为E?2?k?。
通过电流做功的定义，很容易得出，电容器储存能量的公式为：
11Q22E?CU?
22C 还有另一种理解电容器储存能量的方式：电荷之间并不是直接相互作用，而是通过电场相互作用；
这样也就理所当然不存在电荷间相互作用能，作用能包含在空间的电场中。在这样的观点中，我们可以得到相互作用能在空间中分布的密度：??1?0E2，即能量由电场携带。这也就为计算电容提供了2一种新的思路：摆上电荷或者加上电势，然后计算储能。以平行板电容器为例，可以看出来二者完全等价。
【例2】 平行板电容器面积为S，厚度为d。充电点为Q，求两极板之间的作用力。已知真空中电场
的能量密度为?0E
【例3】 还是那个电容器，两极板接电源??
122Qd，求两极板之间的作用力。 ?0S 讲述高端的，真正的物理学
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【例4】 平行板电容器两极板均为正方形，其面积均为S=1.0×10-2m2。相距为d=1.0×10-3m，将这个
电容器与电源相连接，电源的电动势ε=100V，再把厚度为d，长度等于电容器极板长的电介质板（相对介电常数εr=2），以匀速υ=2.3×10-2m/s引入两极板间。问： （1）电路中电流强度为多少？
（2）介质板插入过程中电源输出的能量为多少？ （3）电容器中电介质板引入前后所储存的能量有何变化？比较电源输出的能量与电容器中能量的变化量是否相同？并说明原因。
【例5】 如图所示，空气平行板电容器水平放置，下极板固定，上极板与一竖直弹簧相连于极板的中
点，弹簧原长为L0，挂上金属板后伸长了x0，与下方另一固定金属板相距为d0，两板面积都是S，突然加上电压U，使上极板带正电，下极板带负电，结果上极板振动起来，在其振动的平衡位置，两板距离为d1。求弹簧的劲度系数k及上极板做微小振动的频率。如果在平衡位置去掉电源，保持两极板上电荷不变，则微小振动的频率为多少？
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【例6】 如图所示，一个长为l的圆筒形电容器由一半径为a的内层导线和一半径为b的外部薄导体壳
构成，内外层之间的空间填以介电常数为ε的绝缘材料，假定电容器上连着一个电压为U的蓄电池，那么电介质将部分地被拉出电容器，如果保持电介质处于原位置不动需要多大的力？略去边缘效应，力必须作用在什么方向？（b?a??a）
【例7】 如图所示，一个铁皮制的球形电容器，通过带有两个阀门的玻璃管从水银池中往里面灌水银，
玻璃管的内径a=21mm，它的壁厚d=1mm。在两个阀门之间绕着和电池负极相接的薄金属片。电池的另一极接到池里的水银中，往铁皮容器中灌水银是这样进行的：把下面的阀门关上，打开上面的阀门，等玻璃管充满水银后，再把上阀门关闭，撤除金属片，打开下阀门，把水银放到球形容器中去，多次重复上述动作，直到球形容器充满水银。假若电池电动势ε=120V，球形容器的半径R=10cm，玻璃的相对介电常数εr=6，那最后球形容器和地之间的电压会是多少（近似值）
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电路中的电容
1、孤岛效应：形成孤岛的部分电荷守恒。
2、电容充放电里的能量问题：电容在充放电时，如果电阻无穷小，则电流无穷大，此时无穷小电阻上的电压降不可忽略，无穷小的电阻上的电功不可忽略。有些模型在考虑电容充放电问题时，直接令电阻为零，这样的模型是不完善的，能量是不守恒的。如果要考虑其能量问题，必须加上电阻上的能量消耗或是向外辐射的能量。
【例8】 如图C1，C2，C3是三个电容都是C0的完全相同的平行板电容器，其电源电势差为U． ⑴ 接通电源，三个电容器的能量比．
⑵ 接通电源后，在C2，C3中充满介电常数为?的电介质，求三个电容器的能量比．
⑶ 在⑵操作足够长时间后，再断开电源，然后将C2，C3中的电介质取走，求总能量的改变．
【例9】
正六面体网络中，四个电阻都相同，ε1 = 4V，ε2 = 8V，ε3 = 12V，ε4 = 16V，四个电源均
不计内阻，C1 = C2 = C3 = C4 = 1μF 。试求：四电容器积聚的总能；
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高二秋季物理竞赛班第02讲_电势和电势能.学生版
