8. 如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面 A1B1C1//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体 ，垂足D为A1B1C1的中心． P?A1B1C1的中心，PO?面A1BC1111因VP?ABC?S?ABC?PD?4?VO?ABC?4??S?ABC?OD，
11133故PD?4OD?4r，从而PO?PD?OD?4r?r?3r． 记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP，则 111111111122PP(3r)2?r2?22r． 1?PO?OP1?考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况， 易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，
答图1
记为PEF，如答图2．记正四面体的棱长为a，过P1作PM?PA于M． 11 因?MPP1?3?6r，
62故小三角形的边长PE?PA?2PM?a?26r． 1小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）
3222． ?32ar?63rS?PAB?S?PEF?(a?(a?26r))14又r?1，a?46，所以S?PAB?S?PEF?243?63?183．
，有PM?PP1?cosMPP1?22r?1?
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723 答图2
a?b?c)?0知二次函数f(x)?ax2?bx?c有零点，若二次函数f(x)?ax2?bx?c只有唯2aa?b?cb22??，一的零点，则这个零点就是抛物线的顶点，有解得a?c，由??0，有b?4a?0，2a2ab?2a???1，则b??2a，故抛物线的顶点横坐标为x??所以?1与1中至少有一个是f(x)?0的根。 2a2a2若二次函数f(x)?ax?bx?c有两个不同的零点，因为：
9、由f(?2b?a?b?c??4ac?a?b?c? f????c?24a4a2a?2a?22a?b?c??a?b?c?2b??4aca?c??b2?4aca?c??b2???? ? ?
4a4a4a?a?b?c??a?b?C??f??1?f?1??0? ，所以f??1??0或f?1??0
4a4a故?1与1中至少有一个是f?x??0的根。
nban?1aban?1n2n?1110、解：∵an?，∴n?，∴???
nan?1?2n?2anban?1ban?1?2n?2nn?11n11① 当b?2时，??，∴??(n?1)?，即an?2
anan?12an22n12n?11n12② 当b?0且b?2时， ??(?)，当n?1时，??an2?bban?12?ban2?bb(2?b)22n112n1∴{?为首项，为公比的等比数列， ∴}是以???()n
bb(2?b)an2?b2?bban2?ba?a?b?c?2b?a?b?c??a?b?c? ?2
n(2?b)bnn2n12n?bn∴，∴an? ???nnnn2?ban(2?b)b2?b(2?b)b?n(2?b)bn综上所述a??2n?bn, b?0且b?2
?n?2， b?2 ?bn?1（2）方法一：证明：① 当b?2时，an?n?1?1?2；
2② 当b?0且b?2时，2n?bn?(2?b)(2n?1?2n?2b???2bn?2?bn?1)
n?bnn?bnan?n?1n?2??n?2n?1n1?2???(n?1)1?2???(n?1)2?2b???2b?bn2?b?2bn?12nn?12bnn2n(n?1)2?bn(n?1)2
?b2n?12n?12?bn?12n?1?bbn?1?2n?12bn?1?2n?1bn?1?2n?1bn?1????n?1?1
22n?12n?12n?1bn?1∴对于一切正整数n，an?n?1?1．
2bn?1方法二：证明：① 当b?2时，an?n?1?1?2；
2bn?1nbn(2?b)bn?1?n?1?1， ② 当b?0且b?2时，要证an?n?1?1，只需证
2n?bn22n(2?b)b1nb1????即证n，即证
2?bn2n?1bn2n?1?2n?2b???2bn?2?bn?12n?1bnb1n?1n?2n?2n?1即证(n?1?n)(2?2b???2b?b)?n
2bbb2bn?1bn2n?12n?221即证(2?3???n?n?1)?(n?n?1???2?)?n
2222bbbbbb2bn?1bn2n?12n?221∵(2?3???n?n?1)?(n?n?1???2?)
2222bbbbb1b22bn?12n?2bn2n?1?(2?)?(3?2)???(n?n?1)?(n?1?n) 2b2b2b2bb1b22bn?12n?2bn2n?1?22??23?2???2?n?1?2n?1?n?n， n2b2b2b2bbn?1∴原不等式成立。∴对于一切正整数n，an?n?1?1．
22b?2. 11、解：（1）PF1?PF2?2PO，所以|PF1?PF2|=2|PO|.即最小值为
当P点位于短轴上顶点时，取等号.
（2）PF1?PF2?2PO，QF1?QF2?2QO，所以PO与QO互相垂直，则线段PQ为直角?POQ 与直角?PCQ公共斜边。设线段PQ中点为M，则MC?MO，即xP?xQ?2xM?xC?1 ①
x2?y2?1联立得： 设直线PQ方程为y?kx?b，与2(1?2k2)x2?4kbx?2b2?2?0，由①得：1?2k2?4kb?0 ②
yPyQx2x2y?kx22?y?1合成得：?y2?()， 又由PO与QO互相垂直知???1③ 直线PQ与22bxPxQ2y24ky2k222k2210?5??1?2?0，由③得(2?2)?(1?2)?0④，由②与④解得k??即(2?2)()? bxbxbbb10
2013年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________
1. 集合A?{x2a?1?x?3a?5},B?{x3?x?33},A?(A?B), 则a的取值范围是___________
2. 某人投两次骰子, 先后得到点数m,n, 用来作为一元二次方程x?mx?n?0的系数, 则使方程有 实根的概率为______________ F E 3. 过四面体ABCD的顶点D作半径为1的球，该球与四面体ABCD的外接球相切 于点D，且与平面ABC相切。若AD?23,?BAD??CAD?45?,?BAC?60?， A 则四面体ABCD的外接球的半径r＝________
4. 如图, M,N分别为正六边形ABCDEF的对角线AC,CE的内分点,
AMCN
且＝＝λ, 若B,M,N三点共线,则?=______________ ACCEB N M C D
25. 已知f(x)?x2?(b?4?a2)x?3a?b是偶函数，则函数图像与y轴交点的纵坐标的最大值是 1
6. 对所有的实数x及1?t?2均有(x?t2?2)2?(x?at)2＞, 则实数a的取值范围是 ______ . 8
an?cn1)n(n?Z), 则称△ABC为 7. 定义“n次幂平均三角形”:如果△ABC的三边满足等式：b?(2“n次幂平均三角形”. 如果△ABC为“3次幂平均三角形”, 则角B的最大值是 ______ .
228. 设u,v,w为复数, 其中w?a?bia,b?3,a?b?25,u?w?3v, 若v?1, 则当u的辐角主值
??u的值为_____________ w二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分） 9．定义域为实数集R的函数f(x)同时满足以下3个条件：①x＞0时，f(x)＞0，②f(1)＝2，
22③对任意m，n?R，都有f(m＋n) ＝f(m)＋f(n)．设集合A?{(x,y)f(3x)?f(4y)?24}，
最小时,
B?{(x,y)f(x)?f(ay)?f(3)?0}，C?{(x,y)|f(x)?且A∩C≠Ф，试求实数a的取值范围．
1f(y2)?f(a)}，若A∩B≠Ф 2
y2π
?1，是否存在过焦点的直线l，交双曲线于A、B两点，使得∠AOB＝2．10. 已知双曲线方程x? 22若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由。
11. 数列{an}满足对任意n∈N*，?ai?1??(ai?1)，求?ai?i的最小值．
i?1i?1i?1nn2003
2013年全国高中数学联赛模拟卷(7)答案
?2a?1?31、由条件知A?B, ① A＝Ф, 2a+1＞3a＋5, ② A≠Ф,??3a?5?22, 解得a＜－4或1?a?9.
?3a?5?2a?1?m22、由题意知，m,n??1,2,3,4,5,6?，则事件总数为36，而方程有实根等价于m?4n, 即：n?，
4219
据此可列出n的值：1, 2, 3, 4, 5, 6。m的个数为：5, 4, 3, 3, 2, 2。即5+4+3+3+2+2=19，故概率为 36
3、过D作平面ABC的垂线，垂足为H，作DE?AB，垂足为E，DF?AC，垂足为F， 则HE?AB,HF?AC，且有AE?AF?ADcos45??6。由于?AEH??AFH，则?HAE?30?，
AH?AE?22，DH?AD2?AH2?2，因此DH为半径为1的球的直径，从而四面体ABCD
cos30?22?????????4、延长EA，CB交于P，设正方形边长为1，易知PB=2，A为EP的中点，EA=AP= 3，由AM??AC，
?????????????????????????????1????????CB，CA是?PCE边上的中线，CN??CE，则有CA?CE?CP，可得：CM??1???CA，又CP?3
2?????1??????3?1????????1????3????1????CM?CN?CB，整理得：CM?CN?CB，因为当B，M，N三点共线时，即：1??2?22?2?????????????1??3?1???3??1，解得??存在实数t使得CM??1?t?CN?tCB，故 2?23的外接球的球心O在DH的延长线上，于是有r??r?2??22??，解得r?3.
2??5、∵f(x)是偶函数, ∴f(?x)?f(x), 即x2?(b?4?a2)x?3a?b?x2?(b?4?a2)x?3a?b,
(b?4?a2)x?0,b?4?a2. f(x)的图像与y轴交点的纵坐标是3a?b?3a?4?a2, 设a=2cosθ, b=2sinθ, θ∈[0, π], 3a－b=6cosθ－2sinθ, 当θ＝π时，最大为6 6、2[(x?t?2)?(x?at)]?[(x?t?2)?(x?at)]?[(x?t?2)?(x?at)]
22222222[(x?t2?2)2?(x?at)2]?(2x?t2?2?at)2?(t2?2?at)2 11222222即(2x?t?2?at)?(t?2?at)?恒成立, 则(t?2?at)?,
443335222t2?t2?t?t?112?6, 222?2或a?2. ∵即t?2?at?或t?2?at??. a?tt22tt32t?3622)?6. 当且仅当t?, 即t??[1,2].故a?(min22t5555t2?t2?12?2?t?2在[1,2]单调递减, 故a?(2)?2?7. 又易知函数maxttt127综上可知, 实数a的取值范围是(??,6)?(,??).
2a3?c31)3, 猜想当a?c时, 角B达到最大值, 由余弦定理知, 7. 解：注意到条件b?(2
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)（一试）附详细解答
