2013年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案
1、解：根据向量内积的几何意义，只要看向量在A1A2方向上的投影即可。最大值为2+1
20072、令x?1得
2007?ak=?(?1)k?0k?0kk20072007kk2007C20072=?C2007(?2)?(1?2)??1，
kk?0k2007k?1k2007k又a0为
?(?1)Ck?0(3?x)展开式中最高次项的系数?1，则?ak??2
3、解：设f(x)?x2?(a2?b2?6b)x?a2?b2?2a?4b?1?0，则f(0)?0,f(1)?0，整理得
(a?1)2?(b?2)2?4，且a?b?1?0，在以a,b分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等式所表示的规划区域。则a2?b2?4a?4?(a?2)2?b2，点(?2,0)到规划区域最小值即为到直线
a?b?1?0的距离
1122，则a?b?4a?4的最小值为距离的平方；点(?2,0)到规划区域最大值
2222为(?2,0)的圆心(?1,2)的距离与半径2的和5?2，则a?b?4a?4的最大值为(5?2)2=9?45
4、解：由对称性，我们只讨论A在第一象限情形.设P(x0,y0)，A(xA,yA)，则直线PA的方程为
abbaaby?y0??(x?x0)，与y?x联立，得：(?)xA?x0?y0?0?x0??y0.
baabba2b2222x0若P在第一象限显然满足，若P在第四象限或坐标轴上，则y0?0?2x0?y0?b(2?1)，
aaa2b22a2b22所以(2?2)x0??b，只须2?2?0,?a?b,1?e?2
baba335、解：若3n?1?k?3n，则k?n,(k?1)?n，满足k整除n，则n可取
,k?668 k3,k3?k,?k3?3k2?3k，共3k?4个，所以3k?4?2008916、解：讨论可知，A1:B3;A2:B1;A3:B2，最大期望E??
607、解：不妨设a?13,b?14,c?15。可知?ABC与?O1O2O3相似，且O为?O1O2O3的外心，
512外接圆半径为2r，则cos?O1O3O2?cosC?，sin?O1O3O2?，由正弦定理
131348r343356O1O2?4rsin?O1O3O2?,sinB?，同理可得cosA?,sinA?，cosB?，
1355656548r15r260AB1?cosA1?cosB15?15??r?15?r，所以又O1O2?15?rcot?rcot=15?r，r? 13412922sinAsinB41001001001?1?2?1?2?， 8、由二项式定理：a?b2?1?2，a????2?1001002002001?1??? b?1?2?1?21?2?1?2，故ab???????22?42?100100nn1?1??3?22?3?22?，设xn?3?22?3?22?，
??????42?42???????????????????????nnn?1n?1?xyxn?2?yn?2得： 则x1?1,x2?6，由恒等式x?y??x?y?x?y????xn?6xn?1?xn?2?n?3?，?xn?的个位数字依次为1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，
0，?，所以xn?6≡xn?mod10?，x100≡x6?16?4≡x4?4?mod10?
9、证明：原不等式等价于(n?1)(a1?1)(2a2?1)?(nan?1)?2n(1?a1?2a2??nan)， 设xi?iai?1,(i?1,2,?n)，则xi?2,(i?1,2,?n)，原不等式即为
n?1x1?x2???xn?(n?1)(*) ?x1x2?xn2nx?x???xn?(n?1)1?23x1若令x2,x3,?,xn不变，则(*)式右边为，由xi?2,(i?1,2,?n)知x1?2时
x2x3?xnn?1(*)式右边取最大值。同理知xi?2,(i?1,2,?n)时，(*)式右边取最大值为n，即原不等式成立
2412112210、解：由题可知n?2时，an?1?an?an，又a2?a1??()?，不妨设b1?,bn?an(n?2)，
93332bnbnb?b1112*则bn?1?bn?bn(n?N)，∴ ???n?1n??bn?1bn?1bn?1bnbn?1bnbnbn?13b?11111111111∴?????(?)?(?)???(?)?3??n?1 b1?1b2?1bn?1b1b2b2b3bnbn?1bn?1bn?13b?1357111111111???则=＝n?1 ?????????a1?1a2?1an?1b1?1b2?1bn?11?a11?b1bn?12020bn?157122易知bn?1为正数，且bn?1?bn?bn?b1?， n趋于无穷大时，bn?1趋于无穷大，则M的最小值为
209x0y0G(,). 11、解：(1)假设存在点P坐标为(x0,y0)(y0?0),而G为?PF的重心, 故F1233而I为?PF1F2的内心, 设?PF1F2的内切圆半径为r, 则
1111S?PF1F2?|F1F2|?|y0|?(|PF1|?|PF2|?|F1F2|)?r, 于是?2c?|y0|?(|PF1|?|PF2|?2c)?r.
22222cy02cy0y. 由IG∥F1F2知, r??0, 即|PF1|?|PF2|?4c.
|PF1|?|PF2|?2c|PF1|?|PF2|?2c3c又a?2,e?. 由焦半径公式知, |PF1|?ex0?a,|PF2|?ex0?a, 则|PF1|?|PF2|?2ex0.
ax02y022c2?3??1. 故2ex0?4c, 即x0???4. 又点P(x0,y0)(y0?0)在双曲线上, 则
345e2解得y0?15(舍负). 故存在P(4,15), 使得IG∥F1F2.
(2) 若直线l斜率不存在, 显然k1?k2?0不合题意. 若直线l斜率存在, 设过F2(3,0)的直线方程
(n?1)x1x2?xn?2n(x1?x2???xn?n?1)，等价于
为y?k(x?3), 直线和椭圆交于M(x1,y1),N(x2,y2).将y?k(x?3)代入5x?4y?20中,
22?24k2x1?x2?2,??4k?52222得到(5?4k)x?24kx?36k?20?0. 由韦达定理可知: ? 2?xx?36k?20.12?4k2?5?y1yx?3x2?311?2?k(1?)?k[2?5(?)], 又kAM?kAN?x1?2x2?2x1?2x2?2x1?2x2?2
x1?x2?41124k2?4(4k2?5)2k2?1而, ????2222x1?2x2?2x1x2?2(x1?x2)?436k?20?48k?4(4k?5)5k从而kAM?kAN
2k2?111?k(2?5?)???, 即k??2. 故所求直线l的方程为y??2(x?3).
5k2k22013年全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．函数 y?5x?1?10?2x的最大值是 _______
2．青蛙在正六边形ABCDEF上A点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D点或者跳满五次则停止.不同跳跃 方式有____________种. 3．设f(x)?ax2?bx?c,f(0)?1,f(1)?1,f(?1)?1,则f(2)的最大值为 ___________ 4．设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?an?x2y2
5．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与直线x?y?1交于M, N两点, 且OM?ON(O为原点), 当椭圆的离
ab32
心率e∈[, ]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________ 32
6．对于每个大于等于2的整数n，令f(n)表示sinnx?sinx在区间[0,?]上不同解的个数，
n?1，n?1,2,?，则通项an= ______
n(n?1)g(n)表示cosnx?cosx在区间[0,?]上不同解的个数，则?(g(n)?f(n))=____________
n?220077．在平面直角坐标系中，定义点P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|
若C(x, y)到点A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x, y满足0?x?10, 0?y?10， 则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 _________
8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
a?b?c2)?0，求证：－1与1中至少有9．已知a,b,c是实数, 二次函数f(x)?ax?bx?c满足f(2a一个是f(x)?0的根.
10．设b?0，数列{an}满足a1?b，an?nban?1(n?2)．
an?1?2n?2bn?1（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1．
2
x2?y2?1，过定点C(1,0)两条互相垂直的动直线分别椭交圆于P,Q两点。F1,F2分别 11．已知椭圆2为左右焦点，O为坐标原点。 （1）求向量|PF1?PF2|的最小值；
（2）当向量PF1?PF2与QF1?QF2互相垂直时，求P,Q两点所在直线的斜率。
2013年全国高中数学联赛模拟卷(6)答案
1、函数的定义域为[1, 5]，且y＞0, y?5x?1?2?5?x ?52?(2)2?(x?1)2?(5?x)2?27?4?63
127
当且仅当2?x?1?55?x，等号成立，即x＝时函数取最大值63
27
2、 跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，
所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。
3、f?2??4a?2b?c?3?a?b?c???a?b?c??3c?3f?1??f??1??3f?0??3f?1??f??1??3f?0?
?3?1?3?7, 当f?x???2x2?1时, f?2??7
nn?1n?2?2114.an?1?Sn?1?Sn??an?1??an，即 2an?1????an
(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)(n?2)n?1n(n?1)
?2111 =，由此得 2(an?1?． ?an?)?an?(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)令bn?an?1111111，b1?a1?? (a1?0)，有bn?1?bn，故bn?n，所以an?n?．
2222n(n?1)n(n?1)2?x2y2?1??22222225.由?a2b2,可得(a?b)x?2ax?a?ab?0 ① ??x?y?12a2由OM?ON得x1x2?y1y2?0, 即2x1x2?(x1?x2)?1?0, 将x1?x2??2, 2a?ba2?a2b211113c2??2?2?x1x2?2代入得, 即, 因为, 得 ??22222abbaa?b3a21b211b2231?1?2?, 得?2?, 有?a2?(2?2)?2, 解得5?2a?6. 2a3a22a32k?12k? 或x??，6、由sinnx?sinx得：nx?2k??x或2k????x，即x?又x?[0,?]， n?1n?1nn?12k?12m???，则0?k?或0?k?；但两组取值可能重复。若讨论得：n?4t?1,t?N*
22n?1n?12k2kn?1n?1?或x??，0?k?时重复一组。同理对于cosnx?cosx，x?或0?k?， n?1n?122n?1为公共部分，n为奇数时， n?2t?1,t?N*时重复一组。比较两种解的取值知，0?k?2n?1n*0?k?比0?k?多一组解，但g(n)当n?2t?1,t?N时重复一组。
22** f(n)只当n?4t?1,t?N时重复一组。实质只有当n?4t?1,t?N时，g(n)比f(n)多1个解，
20072005?5?1?501。 其余情况解相同。所以?(g(n)?f(n))=
4n?27. 由条件得|x?1|?|y?3|?|x?6|?|y?9| --------①
当y?9时，①化为|x?1|?6?|x?6|，无解； 当y?3时，①化为|x?1|?6?|x?6|，无解； 当3?y?9时，①化为2y?12?|x?6|?|x?1| -------②
若x?1，则y＝8.5，线段长度为１；若1?x?6，则x＋y＝9.5，线段长度为52；若x?6，
则y＝3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1＋52＋4＝5(2＋1)
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)（一试）附详细解答
