10、证明：如图，
|PF1||?由椭圆的定义知：|PP，|F1M|?p， 1P1eM|FA1| |AA1|?其中e为该椭圆的离心率， eAA1p为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得： |PF1||AF1|?|AP||AF1|?|F1P|ee?|PF1|?|AF1|?2|PF1| ??|AF1||AF1||AF1|ep?|AF1|epp?e|PF1|2|PF1||PF2|2|PF2|所以：??1, 同理可得：??1
|AF1|ep|BF2|epPF1F2B|PF1||PF2|24a4a2所以：??(|PF1|?|PF2|)?2??2?2?2为定值．
|F1A||F2B|epepb
11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的． 又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有n?2011个格子为行优的． 另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数?n(n?2011)．
将棋盘的第i(i?1,2,3,?,n)行第i,i?1,?,i?2010（大于n时，取模n的余数）列中的格子填入“*”，再将1,2,3,?,2011n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子．没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有n(n?2011)个． 容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最大值为n(n?2011)个．
A
R D Q
B
P
C
2013年全国高中数学联赛模拟卷(4)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1、设a, b是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a, b)有 _ 组.
1
2、方程16sinπxcosπx＝16x＋的解集合为
x
3、三棱锥S?ABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面?ABC内的一点， 那么W?tan?OSA?tan?OSB?tan?OSC的最小值是______________
24、对任意x,y?R，代数式M?2x?6x?5?y2?4y?5?2x2?2xy?y2的最小值为________
5、计算：sin?2011sin2?3?2010?sin?sin?_______________ 2011201120116、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对?x,y?R，函数f(x,y)都满足：①f(0,y)?y?1；②f(x?1,0)?f(x,1)； ③f(x?1,y?1)?f(x,f(x?1,y))；则f(3,2011)?__________________
2n?18、设2n个实数a1,a2,?,a2n满足条件
?(ai?1i?1?ai)2?1
则??(an?1?an?2???a2n)?(a1?a2???an)的最大值为________________
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
mm?1?2?9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对(m,n)满足条件：． n?1n试求所有这样的数对(m,n)的个数．
x2y2
10. P是椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1,F2是椭圆的焦点，PF1,PF2分别交椭圆与A,B两点，求证：
|PF1||PF2|?是定值． |F1A||F2B|
11. 给定大于2011的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n?n的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个
数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．
2013年全国高中数学联赛模拟卷(4)答案
1、设a?21?32?73?114,b?21?32?73?114, 则有
????????{?1,?1}max?4,{?2,?2}max?3,{?3,?3}max?2,{?4,?4}max?1.
故有序正整数对(a, b)有(2?4?1)(2?3?1)(2?2?1)(2?1?1)=945组.
11
2、当x＞0时，16x＋?8，（x＝取到等号）而
x4
1
，(x＝＋k, k∈Z取到
4
11
等号), 于是有当x＞0时，方程只有一个解x＝。由于奇函数的性质，可知x＝是方程的另一解。
44
11
故方程的解集合为{, －}
44
2222223、解：由cos?OSA?cos?OSB?cos?OSC?1，
得sin?OSC?cos?OSA?cos?OSB?2cos?OSA?cos?OSB， 同理还有两个不等式，则W?22． 4、解：配方得M?(x?1)2?(x?2)2?1?(y?2)2?x2?(x?y)2，,2(,)(,,)Bxx0(,)C设A1y，
点A关于直线y?x的对称点为A1(2,1)，关于y轴的对称点为A2(?1,2)， 所以：M?|AB|?|AC|?|BC|?|A1B|?|A2C|?|BC|?|A1A2|?10．
2?2?n?isin ， 则z1是方程z?1的根， nn2则1?z?z2?zn?1?(z?z1)(z?z1)?(z?z1n?1)，
?2?(n?1)?2011?n?|(1?z1)(1?z12)?(1?z1n?1)|?2n?1sinsin?sin，令n?2011，则原式＝2010
nnn26、解：设经过n次传球跑动后回到甲的不同传球方式为an（n?2），则an?an?1?4n?1，
5、解：设z1?cos所以 a6?(a6?a5)?(a5?a4)????(a2?a1)?a1?4?4?4?4?4?820
5432f(2,n)?2n?3f(3,n)?2n?3?3．f(3,2011)?22014?3 8、解： 当n?2时，令x1?a1,xi?1?ai?1?aii?1,2,3,?,2n?1
7、解：由①②③可推出f(1,n)?n?22n?1则
?xi?22i?1，ai?x1?x2???xi
所以：??n(x1?x2???xn)?nxn?1?(n?1)xn?2???x2n?(nx1?(n?1)x2???xn)
?x2?2x3???(n?1)xn?nxn?1?(n?1)xn?2???x2n
n(2n2?1)?(1?2???n???1)?x?．
3i?2mm?1?2?9、解：由 可得2n?1?m?2(n?1) n?1n对于每个n，在这个范围内的整数个数为[2(n?1)]?[2n?1]?[2(n?1)]?[2n]?1
22222n?12i又7072?1000?7082 ， 则n?707, 但当n?707时，m?999,1000 所以：数对(m,n)的总数为
706?([n?17062(n?1)]?[2n]?1)?2
??([2(n?1)]?[2n])?708n?1
?708?[7072]?[2]?708?999?1?1706
10、证明：如图，
|PF1||?由椭圆的定义知：|PP，|F1M|?p， 1P1eM|FA1| |AA1|?其中e为该椭圆的离心率， eAA1p为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得： |PF1||AF1|?|AP||AF1|?|F1P|ee?|PF1|?|AF1|?2|PF1| ??|AF1||AF1||AF1|ep?|AF1|epp?e|PF1|2|PF1||PF2|2|PF2|所以：??1, 同理可得：??1
|AF1|ep|BF2|epPF1F2B|PF1||PF2|24a4a2所以：??(|PF1|?|PF2|)?2??2?2?2为定值．
|F1A||F2B|epepb
11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的． 又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有n?2011个格子为行优的． 另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数?n(n?2011)．
将棋盘的第i(i?1,2,3,?,n)行第i,i?1,?,i?2010（大于n时，取模n的余数）列中的格子填入“*”，再将1,2,3,?,2011n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子．没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有n(n?2011)个． 容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最大值为n(n?2011)个．
A
R D Q
B
P
C
2013年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________
1. 正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8边长为1，任取两点AiAj，则AiAj?A1A2最大值为__________
20072007i?020072. 若f(x)??(?1)Ckk?0k2007(3?x)?2k?axi2007?i，则
?ak?1k＝_________
3. 若关于x的方程x?(a?b?6b)x?a?b?2a?4b?1?0的两个实数根x1,x2满足
x2y2
4. 设P双曲线2－2＝1右支上一动点，过P向两条渐近线作垂线，垂足分别为点A,B，若点A,B始
ab
终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e的取值范围是___________. 5. 对于实数x，?x?表示不超过x的最大整数。对于某个整数k，恰存在2008个正整数n1,n2,?,n2008，满足k?2222x1?0?x2?1,则a2?b2?4a?4的最小值为______________, 最大值分别为____________
?n???n?????n?，并且k整除n(i?1,2,?2008)，则k=___________.
313232008i6. A、B两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。A队的三名队员是A1,A2,A3，
i
B队三名队员是B1, B2, B3,，且Ai对Bj的胜率为(1?i, j?3)，A队得分期望的最大可能值是________.
i+j
7. △ABC的三边长分别为13, 14, 15, 有4个半径同为r的圆O, O1, O2, O3放在△ABC内，并且⊙O1与 边AB、AC相切，⊙O2与边BA、BC相切，⊙O3与边CB、CA相切，⊙O与⊙O1, O2, O3相切, 则r=_________. 8. 设a,b都是正整数，且a?b2?1?2?n?100，则ab的个位数字是__________
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
19．已知：实数ai(i?1,2,?,n)满足a?(i?1,2,?,n)，证明：
i112(a?1)(a?)?(a?)?(1?a?2a???na)
2n(n?1)!i12n12n
210. 已知数列{an}由a?,a?a?a??a,(n?N)确定, 若对于任意n?N*，
3111????M恒成立。求M得最小值。 a?1a?1a?1222*1n?1nn?1112n
x2y2
11. 在双曲线C：4－5＝1中，F1,F2分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内 的点，?PF1F2的重心为G，内心为I. (1) 是否存在一点P, 使得IG||F1F2； (2) 已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2与双曲线C交于M，N两点，若AM，AN的斜
1
率k1,k2满足k1?k2?－，求直线l的方程.
2
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)（一试）附详细解答
