2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案
1、由容斥原理知，有
5!4!3!?2???39种. 222在
2、x?2?k?x在[－2, +∞)有两不等实根． 设x?2?t?[0,??)，则g()t?t2?t?k(?2)?0[0, +∞)有两个不等实数根，则??1?4(k?2)?0且g(0)?0解得k??????????????3、取AB的中点D, 则CA?CB?2AD, 由AB?(CA?CB)?0得AB?AD?0, 即AB?AD.
????????故△ABC的底边AB上的高线与中线重合. 从而△ABC是等腰三角形. AC=BC. 由AH?BC?0知,
C12tan2?C1C25C52?2?4. AH?BC. 由cos?, 知sin?,tan?，则tanC?C12225251?tan21?()2322?????????9,?2?． ?4?AH2?CH2=5.
AH4??2. 故以A、H为两焦点的双曲线的离心率为e?AC?CH5?3在Rt△ACH中, 不妨设CH=3, 则AH=4, BC=AC=4、在正方形相邻边所夹的劣弧上，可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整的14?22边的概率为”，可知延长正方形的边与圆的8个交点将圆周8等分．可以得到圆半径为．
225、将正四棱锥的侧面向外展开到底面，则4个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形，
2?6a．
233336、因为ax?by?16，所以(ax?by)(x?y)?16(x?y)．
边长为所以(ax?by)?xy(ax?by)?16(x?y)．即42?7xy?16(x?y)??⑴ 因为ax?by?7，所以(ax?by)(x?y)?7(x?y)．
所以(ax?by)?xy(ax?by)?7(x?y)．即16?3xy?7(x?y)??⑵ 由⑴、⑵,解得x?y??14，xy??38．
又因为ax?by?42，所以(ax?by)(x?y)?42(x?y)．
所以(ax?by)?xy(ax?by)?42(x?y)．所以ax?by?42(x?y)?16xy?20． 注：用递归数列也可求解．
227、 原不等式?7n?m??．7n?0?mod7?，m?0,1,2,4?mod7?． ∴?max?3．
22442222223344445533558、任选4点，共有C10?210个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从不平行于直径的4条平行弦中选取，除去矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为
42． 7(a?1)2?7(a?1)?1ba2?5a?51129???5(?)? 9、解：（1）∵x?a?1，且a?x?1?1 ∴?aaa2a24b11199?3?又a?x?1?1??(0,1)， 结合二次函数的图像知1??5(?)2??，故的取值范围为?1,?
aaa244?2?bx2?7x?1x2?7x?15x?2?1?2另解：?=1?ax?1x?2x?1x?2x?1155? ， ?x?2??4,0?141xx?2?x?2?xx5
?1?bb3?3??，得的取值范围为?1,?
aa2?2?22?c2?c?(x?y)?x?7xy?y（2）设?k，则c?k?xy??恒成立，
，c?x2?7xy?y2?(x?y)xy???(x?y)?x2?7xy?y2?xyxy?k???2???7?k?xyyxyx??即 ?，? 恒成立，
22xyxyx?7xy?y?(x?y)??k???7???2k???yxyxxy??x111令?t，由于y?t?在?1,???是增函数，令f(t)?t??7?t??2， yttt1111则f(t)?t??7?t??2?9?4?5又 ?t??7?t??2?ttttc2?1?k?5,1?k?25，得的取值范围为?1,25?
xy511t??7?t??2tt?1
210、解a1?20,a2?30，a3?70,a4?180. 我们用归纳法证明.an?an?1an?1??500 (n?2) （*） （1）当n?2时，结论成立.
2（2）假设当n?k(k?2)时，结论成立。即ak?ak?1ak?1??500.
22又由于ak?1?3ak?ak?1.代入上式可得：ak?3akak?1?ak. ??① ?1??500222则当n?k?1时，ak?1?akak?2?ak?1?ak(3ak?1?ak)?ak?1?3akak?1?ak??500（由①）
2故当n?k?1时，结论成立，即（*）式成立.
2又an?1?3an?an?1可知：an. ?1?3anan?1?an??5002则5an?1an?(an?1?an)2?500，5an?1an?1?(an?1?an)2?501.
设5an?1an?1?t(t?N). 则t?(an?1?an)2?501. 知：[t?(an?1?an)]?(an?1?an?t)?501. 又an?1?an?N且501?1?501?3?167 故?22t?251t?85?an?1?an?t??1?an?1?an?t??3??或? 故?或?（舍去）
?an?1?an?t?501?an?1?an?t?167?an?1?an?250?an?1?an?82则当n?3时，满足条件.
a2b2c2d24(a?b)2????a?b?c?d? ?? ① bcdaa?b?c?da2b2c2d2????(a?b?c?d) 事实上，bcdaa2b2c2d2?(?b?2a)?(?c?2b)?(?d?2c)?(?a?2d)
bcda1111?(a?b)2?(b?c)2?(c?d)2?(d?a)2 ??? ② bcda(a?b)2(b?c)2(c?d)2(d?a)2???](a?b?c?d) 由柯西不等式知[bcda
11.证明 因为a?b?c?d?4，要证原不等式成立，等价于证明
?(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)2 ????? ③ 又由|b?c|?|c?d|?|d?a|?|b?a|知
(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)2?4(a?b)2 ????④
由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．
CD'EQDAPB
2013年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1、设a, b是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a, b)有 _ 组.
1
2、方程16sinπxcosπx＝16x＋的解集合为
x
3、三棱锥S?ABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面?ABC内的一点， 那么W?tan?OSA?tan?OSB?tan?OSC的最小值是______________
24、对任意x,y?R，代数式M?2x?6x?5?y2?4y?5?2x2?2xy?y2的最小值为________
5、计算：sin?2011sin2?3?2010?sin?sin?_______________ 2011201120116、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对?x,y?R，函数f(x,y)都满足：①f(0,y)?y?1；②f(x?1,0)?f(x,1)； ③f(x?1,y?1)?f(x,f(x?1,y))；则f(3,2011)?__________________
2n?18、设2n个实数a1,a2,?,a2n满足条件
?(ai?1i?1?ai)2?1
则??(an?1?an?2???a2n)?(a1?a2???an)的最大值为________________
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
mm?1?2?9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对(m,n)满足条件：． n?1n试求所有这样的数对(m,n)的个数．
x2y2
10. P是椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1,F2是椭圆的焦点，PF1,PF2分别交椭圆与A,B两点，求证：
|PF1||PF2|?是定值． |F1A||F2B|
11. 给定大于2011的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n?n的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个
数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．
2013年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案
1、设a?21?32?73?114,b?21?32?73?114, 则有
????????{?1,?1}max?4,{?2,?2}max?3,{?3,?3}max?2,{?4,?4}max?1.
故有序正整数对(a, b)有(2?4?1)(2?3?1)(2?2?1)(2?1?1)=945组.
11
2、当x＞0时，16x＋?8，（x＝取到等号）而
x4
1
，(x＝＋k, k∈Z取到
4
11
等号), 于是有当x＞0时，方程只有一个解x＝。由于奇函数的性质，可知x＝是方程的另一解。
44
11
故方程的解集合为{, －}
44
2222223、解：由cos?OSA?cos?OSB?cos?OSC?1，
得sin?OSC?cos?OSA?cos?OSB?2cos?OSA?cos?OSB， 同理还有两个不等式，则W?22． 4、解：配方得M?(x?1)2?(x?2)2?1?(y?2)2?x2?(x?y)2，,2(,)(,,)Bxx0(,)C设A1y，
点A关于直线y?x的对称点为A1(2,1)，关于y轴的对称点为A2(?1,2)， 所以：M?|AB|?|AC|?|BC|?|A1B|?|A2C|?|BC|?|A1A2|?10．
2?2?n?isin ， 则z1是方程z?1的根， nn2则1?z?z2?zn?1?(z?z1)(z?z1)?(z?z1n?1)，
?2?(n?1)?2011?n?|(1?z1)(1?z12)?(1?z1n?1)|?2n?1sinsin?sin，令n?2011，则原式＝2010
nnn26、解：设经过n次传球跑动后回到甲的不同传球方式为an（n?2），则an?an?1?4n?1，
5、解：设z1?cos所以 a6?(a6?a5)?(a5?a4)????(a2?a1)?a1?4?4?4?4?4?820
5432f(2,n)?2n?3f(3,n)?2n?3?3．f(3,2011)?22014?3 8、解： 当n?2时，令x1?a1,xi?1?ai?1?aii?1,2,3,?,2n?1
7、解：由①②③可推出f(1,n)?n?22n?1则
?xi?22i?1，ai?x1?x2???xi
所以：??n(x1?x2???xn)?nxn?1?(n?1)xn?2???x2n?(nx1?(n?1)x2???xn)
?x2?2x3???(n?1)xn?nxn?1?(n?1)xn?2???x2n
n(2n2?1)?(1?2???n???1)?x?．
3i?2mm?1?2?9、解：由 可得2n?1?m?2(n?1) n?1n对于每个n，在这个范围内的整数个数为[2(n?1)]?[2n?1]?[2(n?1)]?[2n]?1
22222n?12i又7072?1000?7082 ， 则n?707, 但当n?707时，m?999,1000 所以：数对(m,n)的总数为
706?([n?17062(n?1)]?[2n]?1)?2
??([2(n?1)]?[2n])?708n?1
?708?[7072]?[2]?708?999?1?1706
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)（一试）附详细解答
