周期函数运算
（加、减、乘、除、复合）结果分析
摘要 探讨了周期函数与周期的定义、周期函数的周期的性质及最小正周期的定义.进一步讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性,从而得出了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理,并说明了定理的应用.
关键词 周期函数 周期 周期性 最小正周期
1周期函数与周期
1.1 周期函数与周期的定义
设函数y?f(x,如果存在一个数T,对任意x?A,有x?T?A,且),?xAf(x?T)?f(x),则函数y?f(x)叫做周期函数,数T叫做函数y?f(x)一个周期.函数具
有周期的性质叫做函数的周期性.
1.2 周期函数的周期的性质
性质1 若T是y?f(x),x?A的周期,则?T也是y?f(x)的周期.
证明 因为T是y?f(x),x?A的周期,所以f(x?T)?f(x),x?T?A.
令x'?x?T?A,则x?x'?T?A,代入上式得: f(x')?f(x'?T),即: f(x'?T)?f(x'),x?T?A.
所以?T也是y?f(x)的周期.
性质2 若T是y?f(x),x?A的周期,且x?nT?A(n?Z),则nT也是y?f(x)的周
期.
证明 (1)证明当n?N时, x?nT?A,则nT是y?f(x)的周期(运用数学归纳法). ② 当n?1时, T是y?f(x)的周期.
②假定当n?k时, kT是y?f(x)的周期,则f(x?kT)?f(x),那么当n?k?1时,有f[x?(k?1)T]?f(x?kT?T)?f(x?kT)?f(x).
所以(k?1)T是y?f(x)的周期.
由①、②可知:对于所有的自然数n,x?nT?A,则nT是y?f(x)的周期.
(2)当n?0时, x?nT?x?A,nT?0,显然, nT是y?f(x)的周期(特殊周期).
?(3)证明当n?Z时, x?nT?A,则nT是y?f(x)的周期.
因为T是y?f(x),x?A的周期,所以由性质1可得: ?T也是y?f(x)的周期.
又因为?n?N,x?(?n)?(?T)?x?nT?A即: x?(?n)(?T)?A,所以由以上(1)的结论可得: ?n(?T)是y?f(x)的周期.即: nT是y?f(x)的周期.
综合以上(1)、(2)、(3)三点可得:若T是y?f(x),x?A的周期, x?nT?A(n?Z),则nT也是y?f(x)的周期.
由性质1和性质2可得出如下结论:
结论1 一个周期函数至少有两个符号相反的周期. 结论2 一个周期函数必有一个以上正周期.
1.3 最小正周期的定义
由结论1可得:一个周期函数的周期的个数至少是两个,或者是多个直至无限多个.由结论2可得:一个周期函数必定存在正周期.因此,可作出如下定义:
设周期函数y?f(x),把y?f(x)的所有正周期中的最小的一个叫做函数y?f(x)的最小正周期.
显然,一个函数的最小正周期是唯一的,故最小正周期具有特殊的意义.因此,一个函数的周期通常是指最小正周期.
2 周期函数的和、差、积、商函数
2.1周期函数的和、差、积、商函数的周期性
周期函数的和、差、积、商函数的周期性有何特点?下面的定理可给出明确的回答. 定理1 设函数y?f1(x)与y?f2(x)都是定义在A上的周期函数,周期分别为T1与T2,
T1p??（a为正有理数, p?Z,q?Z,且p与q互为质数),?a?T2qM,则为函M?qT1?pT2,x?M?Af(x)f1(x)?f2(x)、f1(x)?f2(x)、f1(x)?f2(x)、1f2(x)
（f2(x)?0，x?A)的周期.
Tp证明 因为1?(p?Z?,q?Z?,且p与q互为质数),所以qT1?pT2?M,即: MT2qT1与T2的最小公倍数.
又因为T1与T2分别为y?f1(x)与y?f2(x)的周期,所以根据性质2可得: M且
若数
为
为
y?f1(x)与y?f2(x)的周期.
所以 f1(x?M)?f1(x),f2(x?M)?f2(x). f1(x?M)?2f(x?M)?1f(x)?2f( x).所以M为函数f1(x)?f2(x)的周期.
同理可证明: M为函数f1(x)?f2(x)、f1(x)?f2(x)、1f(x)（f2(x)?0，x?A)的周期. f2(x)这个定理叫做周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理.
2.2周期函数的和、差、积、商函数周期性定理的应用
周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理为求两个周期函数的和、差、积、商函数的周期提供了一般的求解方法.具体的求解步骤如下:
第一步:求出两个周期函数y?f1(x)与y?f2(x)的周期.设周期分别为T1与T2.
第二步:求出两个周期函数的周期之比并表示为两个互质正整数之比.即
??(a为正有理数, p?Z,q?Z,且p与q互为质数).
T1p?a? T2q第三步:求出两个周期函数的周期的最小公倍数,即求出M?qT1?pT2.那么最小公倍数
M即为两个周期函数的和、差、积、商函数的周期.显然,对于有限个周期函数的和、差、积
函数,重复运用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理即可
3 复合函数周期性
1
3.1复合函数周期性的判定
定理2 设u?f(x)是周期函数,函数y?g(u)与u?f(x)满足复合函数的条件,则复合函数y?g[f(x)]是周期函数,且u?f(x)的周期也是复合函数y?g[f(x)]的周期.
证明 记F(x)?g[f(x)],设l为函数f(x)的一个周期.
任何x?D(f),则f(x?l)?f(x),F(x?l)?g[f(x?l)]?g[f(x)]?F(x). 同理u?f(x)F(x?l)?F(x),
因此,F(x)?g[f(x)]为周期函数,f(x)的周期也是g[f(x)]的周期. 必须指出, u?f(x)的最小周期未必是y?g[f(x)]的最小正周期.
1?cos2x22例1 y?g(u)?u,u?f(x)?sinx.复合函数y?sinx?,f(x)?sinx的
22最小正周期是2?,g[f(x)]?sinx的最小正周期是?,所以f(x)的最小正周期2?是g[f(x)]的周期,但不是它的最小正周期.
定理1可以推广到有限个函数复合的情形. 推论 设y1?f1(x)是周期函数, y1?f1(x),y2?f2(y1),
,yn?fn(yn?1),
这n个函数满足复合的条件,记 F(x)?fn[fn?1f2(f1(x))],
则F(x)是周期函数,且f1(x)的周期是复合函数F(x)的周期.
例2 讨论函数y?lntanx的周期性. 解 函数y的定义域
D?{x?Rn???4?x?n???212(n?Z)},
函数y?lntanx可看作y?u,u?lnv,v?tanx的复合函数,容易验证tanx在D上是周期函数,具有最小正周期?,有定理1的推论, y?lntanx是周期函数.?是函数
lntanx的周期.函数y的零值集
? D0?{xx?n??(n?Z)}
4有最小正周期?,因此, ?是函数lntanx的最小正周期.
在定理1中,如果y?g(u)是周期函数,u?f(x)是一般的函数,特别u?f(x)不是周期
22函数时,复合函数y?g[f(x)]未必是周期函数.如y?sinu,u?x的复合函数y?sin(x)不是周期函数.而y?sinu,u?ax?b的复合函数y?sin(ax?b)是周期函数.有下面一般性
的结论.
定理3 设y?g(u)是周期函数,l是g(u)的一个周期,u?ax?b(a,b?R,a?0),则复合函数y?g(ax?b)是周期函数,且
l时函数g(ax?b)的周期. a证明 设y?g(u)的定义域为D,记G(x)?g(ax?b),则y?G(x)?g(ax?b)的定义
la域D1?{x?Rax?b?D}.
任意x?D1,则ax?b?D,由l为g(u)的周期,有ax?b?l?D,即a(x?)?b?D,所以x?l?D1. a 2
又G(x?)?g[a(x?)?b]
lala?g[(ax?b)?l] ?g(ax?b)?G(x),
l为G(x)的周期. a因此,G(x)?g(ax?b)为周期函数,
也要指出,两个非周期函数的复合,可能是周期函数.
例3 y?cosu,u?x2,这两个函数都不是周期函数,但它们的复合函数
y?cosx2?cosx?cosx是周期函数,且有最小正周期.
3.2几类复合周期函数的最小正周期问题
13.2.1 的最小正周期
f(x)定理4 函数f(x)是定义在D上的不恒为零的周期函数,则其倒数函数F(x)?是集合{x?Df(x)?0}上的周期函数,且函数f(x)的周期都是
必须指出,函数f(x)与例4 函数f(x)??1f(x)1的周期. f(x)1的周期未必是一致的. f(x)?0,x为偶数,
?1,x?R?Z.1?1(x?R?Z) f(x)显然, f(x)是以2为最小正周期的周期函数.
易见
1是以1为最小正周期的周期函数. f(x)1的周期一致. f(x)定理5 若函数f(x)是R上的不恒为零的周期函数,则函数f(x)与
证明 由定理1,函数f(x)的周期都是函数F(x)的周期. D(F)?{x?Rf(x)?0},设
l0为函数F(x)的任意一个正周期.
任意x?D(F),则x?l0?D(F),且F(x?l0)?F(x),
从而f(x?l0)?f(x) (1) 任意R?D(F),则f(x)?0,因此f(x?l0)?0.从而,
f(x?l0)?f(x)?0 (2)
由(1),(2)两步证明,l0为函数f(x)的周期,所以函数F(x)的每个周期都是f(x)的周期.
由定理5,立即有:
推论 函数f(x)是R上的不恒为零的具有最小正周期的周期函数,则函数
1与f(x)f(x)具有相同的最小正周期.
3.2.2 f(x)的最小正周期
定理6 函数f(x)是周期函数,则f(x)是周期函数,且函数f(x)的周期都是f(x)的周期.
3
证明 因为f(x)是周期函数, T是它的周期
所以f(x?T)?f(x) (x、x?T都是在定义域内) , 由绝对值的性质得f(x?T)?f(x) , 所以f(x)也是周期函数, T是它的周期.
必须指出,函数f(x)的周期未必是函数f(x)的周期,甚至可能f(x)有最小正周期,但
f(x)未必有最小正周期.
例 1: 证明函数f(x)?sinx?cosx是周期函数,并求出它的一个周期.
证明 因为sinx和cosx都是周期函数, 2?是它们的周期, 所以由上面定理 6得
sinx 和cosx都是周期函数, 并且2?是它们的周期, 由上面定理 得sinx?cosx也
是 周 期 函 数 , 又 因 为sin(x?所以
?)?cos(x?)?cosx??sinx?sinx?cosx, 22??2是f(x)?sinx?cosx的一个周期.
例5 函数f(x)?sinx,函数f(x)=sinx有周期x,但?不是sinx的周期. 还要指出,定理6的逆不成立,即函数f(x)为周期函数时,函数f(x)未必是周期函数. 例6 函数f(x)=sinx不是周期函数,但函数f(x)?sinx?sinx是周期函数. 3.2.3 [f(x)](n?Z,n?0)的最小正周期
定理7 函数f(x)是周期函数,若n为正奇数,则函数[f(x)]是周期函数,且函数f(x)与
nn[f(x)]n的周期一致.
n定理8 函数f(x)是周期函数,若n为正偶数, 则函数[f(x)]是周期函数,且函数[f(x)]n与f(x)的周期一致.
定理9函数f(x)是不恒为零的周期函数, 若n为负奇数,则函数[f(x)]是周期函数,且
n1的周期一致. f(x)n定理10函数f(x)是不恒为零的周期函数, 若n为负偶数,则函数[f(x)]是周期函数,
1n且[f(x)]与的周期一致.
f(x)[f(x)]n与
3.2.4 [f(x)](n?Z,n?0)的最小正周期
3.2.4.1
1nn为正奇数时,函数[f(x)]的定义域与f(x)的定义域相同,且
1n1nf(x)?{[f(x)]}n,因此,由定理7可得
定理7＇函数f(x)是周期函数,若n为正奇数,则函数[f(x)]是周期函数,且函数f(x)与[f(x)]的周期一致.
1n1nn为正偶数时,函数f(x)是非负的周期函数,则函数[f(x)]的定义域
D1?{x?Rf(x)?0}?D(f).
3.2.4.2
1n{[f(x)]}n?f(x).
因此,由定理8,有
4
1n
周期函数运算（加，减，乘除，复合）结果分析
