2024高考数学圆锥曲线最值问题大题精做理科
x2y21.已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，B为其短轴的一个端点，F1，F2分别为其左右两个
ab1焦点，已知三角形BF1F2的面积为2，且cos?F1BF2?．
3（1）求椭圆C的方程；
2??（2）若动直线l:y?kx?m?m?0,k2??与椭圆C交于P?x1,y1?，Q?x2,y2?，M为线段PQ3??的中点，
2?3，求OM?PQ的最大值． 且x12?x2
2.已知点F??1,0?，直线l:x??4，过点P作直线l的垂线，垂足为点M，P为平面内的动点，r1uuuur??uuur1uuuur??uuu且?PF?PM???PF?PM??0．
22????（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F作直线l1（与x轴不重合）交C轨迹于A，B两点，求三角形面积OAB的取值范围．（O为坐标原点）
3.如图，已知抛物线C:y2?2px和eM:?x?4??y2?1，过抛线C上一点H?x0,y0??y0?1?2作两条直线与eM相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为
17． 4（1）求抛物线C的方程；
（2）当?AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率； （3）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．
4.已知直线y?x?p与抛物线C:y2?2px?p?0?交于B，D两点，线段BD的中点为A，2点F为C的焦点，且△OAF（O为坐标原点）的面积为1． （1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点G?2,2?作斜率为k?k?2?的直线l与C交于M，N两点，直线OM，ON分别交直线y?x?2于P，Q两点，求PQ的最大值．
x2y251.【答案】（1）?（2）． ?1；
3222a2?4c21c21【解析】（1）由cos?F1BF2???2??a2?3c2，b2?2c2， 22a3a3122， cos?F1BF2??sin?F1BF2?33122结合S△F1BF2?a2??2?a2?3，?b2?2，
23x2y2故椭圆C的方程为??1．
32另解：依题意：S△F1BF2221b2212?F1BF2?1??2?， ??2cb?bc?2，cos?F1BF2?2cos23a32x2y2解得a?3，b?2，故椭圆C的方程为??1．
32（2）联立
?y?kx?m??3k2?2?x2?6kmx?3m2?6?0?Δ?24?3k2?2?m2??0?3k2?2?m2． ?22?2x?3y?63m2?6?6km且x1?x2?2，x1x2?2；
3k?23k?22?3??x1?x2??2x1x2?3?依题意x12?x22??6km?22?3k2?2??6?m2?2?3k2?2?3，
化简得：3k2?2?2m2（∵3k2?2）；
22?2x0y1?y2?2x1?3y1?62222设M?x0,y0?，由?2， ?2x?x??3y?y?k??????12122x1?x2?3y0??2x2?3y2?69k2?43m2?12?3k1?又y0?kx0?m，解得M??， ?,??OM?4m22m2?2mm?PQ??1?k22?x1?x2??1?k22?24?3k2?2?m2??3k2?2?2?2?2m2?1?m21??1?2522??OM?PQ??3?2??2?2??m??m?4?， OM?PQ?5115．当且仅当3?2?2?2，即m??2时，OM?PQ的最大值为． 2mm2x2y2?3?2.【答案】（1）?（2）?0,?． ?1；
43?2?【解析】（1）设动点P?x,y?，则M??4,y?，
2024高考数学圆锥曲线最值问题大题精做理科
