工程数学二复习题(教师用)
一、选择题:
1、下列等式中有一个是微分方程,它是( D )
?u?v?uv??u?A、u?v?uv??(uv)? B、???
v2?v?dyd(y?ex)x?e?C、 D、y???3y??4y?0 dxdx解:选项A和B是求导公式,选项C为恒等式,选项D符合微分方程的定义
2、下列方程中有一个是一阶微分方程,它是( C )
A、(y?xy?)?xyy?? B、(y??)?5(y?)?y?x?0 C、(x?y)dx?(x?y)dy?0 D、xy???3y??4y?0
3、若级数
?2222222457?an?1?n与
?bn?1?n都发散,则( C )
A、
?(an?1?n?bn)发散 B、?anbn发散
n?1?22?bn)发散 ?bn)发散 D、?(ann?1?C、
?(an?1n解:由an?an?bn推知若选项C收敛,则 4、级数
?an?1?n收敛,与题设矛盾,故选C ?an?1?n的部分和数列?Sn?有界是该级数收敛的( A )
A、必要非充分条件 B、充分非必要条件
C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 5、级数
?qn?1?an(a为常数)收敛的充分条件是( A )
A、|q|>1 B、q=1 C、|q|<1 D、q<1 解:该级数是公比为11的几何级数,所以当?1,即|q|>1时级数收敛 qq
6、若级数
?an?1n?n收敛,那么下列级数中发散的是( B )
A、
?100an?1? B、
?(an?1?n?100) C、100+?an D、?an?100
n?1n?1??解:选项B中,因为lim(an?100)?100?0,所以该级数发散
n??
7、若级数
?an?1?n发散,则( D )
A、liman?0 B、limSn??n???n??(Sn?a1?a2???an)
C、
?an?1?n任意加括号后所成的级数必发散
D、
?an?1n任意加括号后所成的级数可能收敛
解:选项A和B均为级数发散的充分条件,但非要条件。若级数发散,则任意加括号后所成级数可能收敛也可能发散
8、若级数
??an?1?n收敛,则下述结论中,不正确的是( C )
?A、
?(an?12n?1?a2n)收敛 B、?kan收敛 (k?0)
n?1C、
?|an?1?n|收敛 D、liman?0
n??解:选项A中因为
?(an?1?2n?1?a2n)?(a1?a2)?(a3?a4)?? 所以A正确
选项B中由级数收敛性质知该级数收敛,所以B正确 选项D是级数收敛的必要条件,所以D正确 选项C中原级数收敛,
?|an?1?n|可能收敛也可以发散
9、无穷级数
?(?1)n?1?nun(un?0)收敛的充分条件是( C )
A、un?1?unC、un?1?un(n?1,2,?) B、limun?0
n???(n?1,2,?),且limun?0 D、?(?1)n(un?un?1)收敛
n??n?1解:所给级数为交错级数,选项C为交错级数判断收敛性的莱布尼茨定理中的条件
10、设0?un?A、
1(n?1,2,?),则下列级数中必定收敛的是( D ) n?un?1?n B、22?(?1)n?12?n2un C、?un D、?(?1)nun
n?1n?1??11、在球x?y?z?2z?0内部的点是( C ) A、(0,0,2) B、(0,0,-2) C、(,222111111,) D、(?,,?) 222222解:球的标准方程为x?y?(z?1)?1,是以(0,0,1)为球心,1为半径的球面,
经验算选项C中的点到球心的距离为3?1 212、设函数z?f(x,y)?xy,则下列各结论中不正确的是( D )
x2?y2A、f(1,)?yxxyxxyf(1,)? B、 2222yx?yx?yxyxyf(x?y,x?y)? D、 2222x?yx?yC、f(,)?11xy13、设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处存在对x,y的偏导数,则f ’x(x0,y0)=( B ) A、lim?x?0f(x0?2?x,y0)?f(x0,y0)f(x0,y0)?f(x0??x,y0) B、lim
?x?0?x?xf(x,y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0) D、lim
?x?0x?x0?xC、lim?x?0解:根据偏导数定义知选项C和D显然错误
选项A中,
?x?0limf(x0?2?x,y0)?f(x0,y0)f(x0?2?x,y0)?f(x0,y0)??2fx?(x0,y0) =?2lim?x?0?x?2?x选项B中,
0,y0)?f(x0??x,y0)f(x0??x,?limf(xx?0?x=?limy0)?f(x0,y0)x?0??x?fx?(x0,y0)
14、二元函数z=f(x,y)的两个偏导数存在,且
?z?x?0,?z?y?0,则( D ) A、当y保持不变时,f(x,y)是随x的减少而单调增加的
B、当x保持不变时,f(x,y)是随y的增加而单调增加的 C、当y保持不变时,f(x,y)是随x的增加而单调减少的 D、当x保持不变时,f(x,y)是随y的增加而单调减少的 解:由?z?x?0知当y保持不变时,f(x,y)是x的单调增加函数; 由?z?y?0知当x保持不变时,f(x,y)是y的单调减少函数;
15、 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微的充分条件是( D ) A、f(x,y)在点(x0,y0)处连续
B、f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数
C、lim??0[?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y]?0
D、lim?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y??0[?]?0,其中??(?x)2?(?y)2
解:二元函数在点(x0,y0)连续或偏导数存在均不能保证在此点可微 由全徽分的定义知选项D正确
16、已知函数f(x?y,x?y)?x2?y2,则
?f(x,y)?f(?x?x,y)?y?( B ) A、2x-2y B、x+y C、2x+2y D、x-y
解:设u=x+y,v=x-y,则f(u,v)=uv,从而f(x,y)=xy
?f(x,y)?x??f(x,y)?y? 17、已知函数f(xy,x?y)?x2?y2?xy,则
?f(x,y)??x,f(x,y)?y分别为( A A、-1,2y B、2y,-1 C、2x+2y,2y+x D、2y,2x
解:设u=xy, v=x+y,则f(u,v)=(x+y)2-xy=v2-u 所以f(x,y)=y2-x
18、点(x0,y0)使fx?(x,y)?0且fy?(x,y)?0成立,则( D )
) A、(x0,y0)是f(x,y)的极值点 B、(x0,y0)是f(x,y)的最小值点 C、(x0,y0)是f(x,y)的最大值点 D、(x0,y0)可能是f(x,y)的极值点 解:fx?(x,y)?0且fy?(x,y)?0是f(x,y)在(x0,y0)有极值的必要而非充分条件
19、设区域D是单位圆x?y?1在第一象限的部分,则二重积分A、
22??xyd??( C )
D?1?y20dx?1?x20xydy B、?dx?011?y20xydy
C、
?dy?011?y2011xydx D、?2d??r2sin2?dr
0201?y21?x2?解:在直解坐标系下:??xyd???dy?D010xydx??dx?010xydy ?在极坐标系下: 20、A、C、
32d?2d?xyd??rcos??rsin??rdr?r??????sin?cos?d? D00001?1?dx?011?x0f(x,y)dy?( D )
1100??1?x01dy?f(x,y)dx B、?dy?f(x,y)dx
01?x010dy?f(x,y)dx D、?dy?011?y0f(x,y)dx
解:改变积分次序后,积分区域可记为D?{(x,y)|0?y?1,0?x?1?y} 21、若
??dxdy?1,则积分区域D可以是( C )
DA、由x轴,y轴及x+y-2=0所围成的区域
B、由x=1,x=2及y=2,y=4所围成的区域 C、由|x|=1/2,|y|=1/2所围成的区域 D、由|x+y|=1,|x-y|=1所围成的区域
解:由二重积分的几何意义可知D的面积为1,画出草图可知选项A、B、D所给区域面积均为2,选项C所给区域的面积为1
二、填空题:
1、微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解是( y?1 ) x2、微分方程(1?y)dx?(1?x)dy?0的通解是( (1?x)(1?y)?C )