高二年级学科知识竞赛数学试卷
第I卷（选择题）
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
x2y2??1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是 1．命题p:方程
5?mm?1A．3?m?5 B．m?1 C．1?m?5 D．4?m?5
2．已知集合A?x|x2?x?2?0，B??x|log1x?1?，则AIB?（ ）
??????2A．(0,) B．(0,1) C．(?2,) D．(,1)
121212an?12an3.若数列?an?满足a1?5,an?1???n?N??，则其前10项和为（ ）
2an2A．200 B.150 C.100 D.50
x2y26264．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双
23ab曲线的标准方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B．??1 C．??1 D．??1 A．8416816121285．设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若m??,???，则m//?； ②若m??,?//?,n??，则m?n； ③若m??,n??,m//n，则?//?； ④若n??,n??,m??，则m??. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设x?y?0,0?a?b?1，则下列恒成立的是（ ）
xyxyA.x?y B.x?y C.a?b D.a?b
abab7．已知函数f(x)?Asin(?x??)（A?0，??0，0???解析式为（ ） A．f(x)??2）的部分图像如图所示，则函数f(x)的
2sin(2x?) B．f(x)?2sin(2x?)
36??C．f(x)?2sin(2x?
?) D．f(x)?2sin(2x?) 36?8．正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1 上的任意一点，则直线OP与直线AM所成的角为（ ）
A. 45 B. 60 C. 90 D.与点P的位置有关
9．一只蚂蚁从正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）
ooo
A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 10．函数y?lncosx???????x??的图象是（ ）
2??2A． B． C． D．
x2y211.设点F1,F2分别为椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点，若在椭圆上存在点M，使MF1，l为右准线，
abMF2，点M到l的距离d成等比数列，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A.?2?1,1 B.?2?1,1? C.0,2?1? D.?0,?????????2?? 2?12． 已知全集U?{(x,y)|x,y?R}，集合A?{(x,y)|xcos??(y?4)sin??1,0???2?}，集合
A的补集CUA所对应区域的对称中心为M，点P是线段x?y?8(x?0,y?0)上的动点，点Q是x轴
上的动点，则?MPQ周长的最小值为（ ）
A．24 B．410 C．14 D．8?42
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
→→→→→→→→→
13.已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝2，|AC|＝3.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则λ= . 14．正数x,y满足x?2y?2，则
x?8y的最小值为 . xy15.设Sn为等差数列?an?的前n项之和，S9?18,an?4?30?n?9?,Sn?336，则n? .
?sin?x,x??0,2??16．对于函数f?x???1，有下列4个命题：
?f?x?2?,x??2,????2①任取x1,x2??0,???，都有f?x1??f?x2??2恒成立； ②f?x??2kf?x?2k?k?N?*?，对于一切x??0,???恒成立；
③函数y?f?x??ln?x?1?有3个零点； ④对任意x?0，不等式f?x??2恒成立. x则其中所有真命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （10分）已知a?0，设命题p：函数f?x??x2?2ax?1?2a在区间?0,1?上与x轴有两个不同的交点；命题q：g?x??x?a?ax有最小值.若??p??q是真命题，求实数a的取值范围.
18．（12分）如图所示，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.
(1)证明：AB⊥平面ODE；
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
19．（12分）如图所示，在?ABC中, 点D为BC边上一点，且BD?1,E为AC的中
点,AE?3272?,cosB?,?ADB?. 273（1）求AD的长；
（2）求?ADE的面积.
20．（12分）设函数f?x?是定义域为??1,1?的奇函数；当x???1,0?时，f?x???3x．
2（1）当x??0,1?时，求f?x?；
（2）对任意的a???1,1?,x???1,1?，不等式f?x??2cos
21、（12分）已知椭圆的两个焦点为F,0?,F2?1,0?，且椭圆与直线y?x?3相切. 1??1⑴求椭圆的方程；
⑵过F1作互相垂直的直线l1,l2，与椭圆分别交于P,Q及M,N，求四边形PQMN面积的最大值和最小值.
22．（12分）已知数列?an?的前n项和为An，对任意n?N*满足足bn?2?2bn?1?bn?0n?N*,b3?5，其前9项和为63． （1）求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）令cn?值范围；
（3）将数列?an?,?bn?的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进
2??asin??1都成立，求?的取值范围．
An?1An1??，且a1?1，数列?bn?满n?1n2??bnan?，数列?cn?的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn?2n?a，求实数a的取anbnL，求这个新数列的前n项和Sn．行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,b6，
参考答案
一、选择题
?5?m?0?1．D 解析：方程表示焦点在y轴上的充要条件是?m?1?0，解得3?m?5，所以选项中是
?m?1?5?m?3?m?5的充分不必要条件的是4?m?5，故选D.
2．A 解析：依题意A???2,1?,B??0,
3.D 解析：由已知an?1?an
??1??1?AIB?，故??0,?.
2??2?x2y266e??c?a,a?2b?2?0?2y??x2222bb4. A解析：，渐近线方程，因此左顶点到一条
22|a|26xy??a?22,b?2??13384渐近线的距离为，即该双曲线的标准方程为，选A.
5. D解析：对于①，有可能m??，故错误；对于③?,?可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：a?a?b
7. D 解析：x?0时，y?1，代入验证，排除A，B，C选项，故选D.
8. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设P(x,0,0)，O(1,1,2)，
xyyuuuruuuurM(0,2,1)，A(0,0,2)，∴OP?(x?1,?1,?2)，AM?(0,2,?1)，
uuuruuuur?∴OP?AM?(x?1)?0?1?2?(?2)?(?1)?0，即OP?AM，故夹角为，故选C.
29．D 解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形ABCC1B1A1A的对角线AC1（经过BB1）、或矩形
ABCC1D1DA的对角线AC1（经过CD），故视图为②④.
10. A 解析：由偶函数排除B、D,?0?cosx?1,?y?0,?排除C. 11.A 解析：由题意MF22?MF1?12aMF2?eMF2?MF1?2a?MF2?MF2??a?c e1?e
高二数学竞赛试题及标准答案
