孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版），中国人民大学出版社，2015。
《非寿险精算学》（第三版）参考答案
第1章 非寿险简介（略） 第2章 损失模型
2.1
首先将2005年和2006年的损失折现到2004年中：
2005年平均损失金额的折现值为：1200?11?10%?1090.9
2006年平均损失金额的折现为：1500?1?1?10%?2?1239.7 2004年的平均损失金额为：E?x??1?1090.9?233?1239.7?1190.1 而Pareto??,??分布的期望是E?x?????1
用损失次数进行加权，得13?1090.9?23?1239.7?1190.1??3?1，得λ = 2380.2
2.2 E(x)???x2?20(??x)3dx??2?1??
由题意可知，2007年平均索赔金额的期望值为：
( 500×1.053×100+600×1.052×150+700×1.05×200 ) ÷ 450 = 675.8
即：E(x) = 675.8 = λ
从而，λ的矩估计值为675.8。
2.3 ??(??…????
1,??2,??;??)=?????????∑??=1????
??
L(??1,??2,…????;??)=???? ??(??1,??2,…????;??)=???????????∑???? 对L(??1,??2,…????;??)关于 ??求偏导并令其等于0，有：??=1
??
??
???∑????=0 ??=1
解得，???n1?n?xx ii?12.4 Mtx?txnx(t)?E(e)??0e?ai?ie??ixdx?i?1?nati(1?)?1,(t??i)
i?1?i2.5
1
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E(S)??E(X)?20?100?2000Var(S)?Var(X)E(N)?Var(N)?E(X)???Var(X)??E(X)?2?2?
?20(1002?1002)?400000分位数=E(S)?2.326?Var(S)?3471 2.6
?0,X?20令Y??为保险人的赔款随机变量。
X?20,X?20?E(Y) = E(X-20|X>20)×P(X>20)+0×P(X<20)
+∞
+∞
∫20(x-20)f(x)dx
= ∫(x-20)f(x|x>20)dx×P(X>20)=×P(X>20)
P(X>20)20 =∫(x-20)f(x)dx=∫(x-20)0.2e-0.2xdx=5e-4
20
4+∞+∞
20
2.7
Px44!e，Px411116?2e， P?x?4??2??e 2424e-1
·0.624P(l =1|x =4)==0.2031 -2-1e16e·0.6+2424·0.4
16e-1
·0.424P(l =2|x =4)==0.7969 e-116e-224·0.6+24·0.4
2.8
E????P???1x?4??1?P???2x?4??2?0.2031?1?0.7969?2?1.7969
??E(S)??E(X)?20?100?2000?2?Var(S)?Var(X)E(N)?Var(N)?E(X)???Var(X)??E(X)?E[(S?E(S))3]2?2?
?20(1002?1002)?400000?E(X3)12?107?????0.474?3?34000003/2422???2?17.778，???6.667?10?3，x0?????666.67
????因此S的分布函数为G(x+666.67; 17.778, 6.667×10-3)，99%分位数=3687
2.9 为简化计算，假设一个货币单位为5000元，则有fX(1)=0.8，fX(2)=0.2
2
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fS(0)?e???e?0.2?0.818731,fS(1)??fX(1)fS(0)?0.2?0.8?e?0.2?0.130997fS(2)?x 0 1 2 3 4 5 6 2.10 设I???2
?fX(1)fS(1)?2fX(2)fS(0)??0.043229fS(x) 0.818731 0.130997 0.043229 0.005799 0.001097 0.000128 0.000018 依此类推，其他计算结果如下表所示。 FS(x) 0.818731 0.949728 0.992957 0.998756 0.999853 0.999981 0.999999 ?1，火灾发生?0，火灾不发生，q = P (I = 1) = 0.04。对最高赔偿额为Ai 的第i类保单，设
Xi为其理赔总额，Yji，j = 1，…，ni为第j份保单获得的赔付额，则
????
????=??1??+??2+?+???? ??
其中对每个i，Yji，（j = 1，…，ni）独立分布，设其分布与IBi相同， Bi ? U (0，Ai)，ui = E (Bi) = Ai / 2，?i?var(Bi)?Ai/12，则总赔付额S 为：
22S?X1?X2?E(S)??niuiqi??i?1i?155?X5
niAiqi20.04?(80?10000?35?20000?25?30000?15?50000?5?100000)?70000252ii2ii5
5niAi2niAi29Var(S)????niuq(1?qi)?ni?q???0.04?0.96?4?0.04?12?1.7072?10
i?1i?1i?1?S?E(S)?E(S)? P?S?(1??) E(S)??99%?P????99%
Var(S)???Var(S)?2.325Var(S)??E(S)???E(S)??1?1.3724 ???????(0.99)?2.325?????99%，
E(S)Var(S)Var(S)????????
∞
1
1
∞
2.11 X的矩母函数为????(??)=∫0?????????????/??d??=??∫0??（?????)??d??=(1?????)?1，??
?11
1
?1S的矩母函数为MS(z)?PN?MS(z)??1????(1??z)?1?????1??1???1?(1??)?z??1?1 1?? 3
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这是一个两点混合分布。
?1 x=0?1??，? fs(x)?????x?exp???，x?02??(1??)?(1??)??? FS(x)=1-βx
exp(-)，x≥0
1+βθ(1+β)
2.12 设N表示下个月出行的航班数，N~B(n1,p1)，n1?70，p1?0.98
E(N)?n1p1?68.6,Var(N)?n1p1(1?p1)?70?0.98?0.02?1.372
P 表示飞机上的人员数，M表示飞机上的乘客数，M~B(n2,p2)，n2?200，p2?0.9，
则
P?6?M，
E(P)?6?200?0.9?186Var(P)?200?0.9?0.1?18令K表示出行中发生事故的航班数，则K?I1?I2?...?IN，
?1,q?0.00001Ij?? j?1,2,...,N
0,1?q?0.99999?E(K)?qE(N)?0.00001?68.6?0.000686Var(K)?E[Var(IN)]?Var[E(IN)]?q(1?q)*E(N)?q2*Var(N)
?0.00001?0.99999?68.6?0.000012?1.372?0.000686令S表示下个月发生事故死亡的人员数：S则
?P1?P2?...?PK
E(S)?E(P)E(K)?186?0.000686?0.1276
Var(S)?E(K)Var(P)?E(P)2Var(K)?0.000686?18?1862?0.000686?23.745第3章 费率厘定基础
3.1 赔付率=已发生损失/已赚保费=125000/200000=0.625
综合成本率=赔付率+经营费用率=赔付率×(1+理赔费用率)+承保费用率=0.625×(1+0.14)+0.25=0.9625 3.2
（1）2011日历年，保单A已赚车年=5×2×0.5=5；保单B已赚车年=10×2×0.5=10； 2011日历年总已赚车年=5+10=15 （2）截至2010年12月31日，
2010保单年保单A承保车年数=5×2=10；2010保单年保单B承保车年数=10×2=20； 因此，2010保单年承保的总车年数=10+20=30
（3）2010日历年，保单A承保车年数=5×2=10；保单B承保车年数=10×2=20； 2010日历年承保的总车年数=10+20=30 3.3
x2lny?lna?xlnb，y?ab由有由最小二乘法，设S???lnyi??lna?xilnb??。
5i?1 4
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??S??a?0令?，
?S??0??b?5lna??xilnb??lnyi有，? 2xlna?xlnb?xlny?i?ii??i由∑xi=15，∑xi2=55，∑ln yi=34.78659，∑xiln yi=105.24673代入上面方程组解得，
?lna?6.691233 ??lnb?0.088695?lny?6.691233?0.088695?6?7.223404，y?1371.148
3.4
λY = 1.1X， f(x)=xα-1e-λx
Γ(α)y?y?F(y)?P(Y?y)?P(1.1x?y)?P(x?)??1.1x??1e??xdx
0?(?)1.1α
λαααα-1()λyyλy1λα-11-λ-λ-y1.1α-1
f(y)=()e1.1×=y()e1.1=ye1.1
1.1Γ(α)1.1Γ(α)Γ(α)1.1
因此，Y服从参数为(α，
λ1.1
α
)的伽玛分布。
3.5 把2008年7月1日生效后的费率看作1，则2009年7月1日生效的费率为1.08，2011年7月1日生效的费率为1.08×1.1=1.188
等水平保费等水平因子
年度 平均费率(1) 保费(3)
(2)=1.188/(1) (4)=(3)×(2)
1.07=1×0.125+1.0
2010 1.1103 200 222.0561
8×0.875 1.0935=1.08×0.87
2011 1.0864 250 271.6049
5+1.188×0.125 1.1745=1.08×0.12
2012 1.0115 300 303.4483
5+1.188×0.875
797.1093 合计
3.6
525 812 903 981 1029 1060 622 984 1100 1182 1235 1272.206 721 1132 1242 1327 1388.963 1430.808 861 1273 1383 1487.418 1556.872 1603.774 970 1504 1656.87 1781.965 1865.173 1921.364 1289 1988.036 2190.105 2355.459 2465.446 2539.721
进展因子(加
1.542309 1.101642 1.075501 1.046694 1.030126
权平均)
累计赔款
5
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