二维分数阶非线性薛定谔方程的守恒数值方法
张荣培1, 张 怡1, 刘 佳2
【摘 要】摘要: 非线性薛定谔方程在许多领域有重要应用,尤其分数阶非线性薛定谔方程研究日益火热。主要研究二维分数阶非线性薛定谔方程的守恒数值求解方法。首先,为了减少存储量和运行时间,引入分数阶微分矩阵,应用加权和偏移Grunwald-Letnikov 空间差分格式,对二维分数阶非线性薛定谔方程进行空间离散;然后,利用紧致隐式积分因子方法的优点(指数矩阵可以在预处理阶段计算和存储,在时间循环过程中可以直接应用,且对扩散项的精确计算与非线性项的隐式处理解耦,只需在每个时间周期内求解每个空间网格点的局部非线性代数方程组),对二维分数阶非线性薛定谔方程进行时间离散;最后,数值算例验证了方法的守恒性、准确性和有效性。
【期刊名称】沈阳师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2018(036)002 【总页数】5
【关键词】关键词: 分数阶非线性薛定谔方程; 加权偏移Grunwald-Letnikov差分; 紧致积分因子方法; 守恒性 【文献来源】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_journal-shenyang-normal-
university-natural-science-edition_thesis/0201250711568.html
0 引 言
分数阶非线性薛定谔方程[1-3]在许多领域有重要应用。Laskin[4]推导出量子里兹空间分数阶导数[5-7]可以延伸到一个完整的Feynman路径[8],也可以应用于与长程相互作用的离散模型,在Boson-star[9]和一些水波动力学[10]中也有
涉及。
本文考虑Ω=[a,b]×[c,d]边界在二维对称空间分数阶[11-13]非线性薛定谔方程: (1)
其中:是复数单位;u=u(x,y,t)是复值函数;1<α≤2;里兹分数阶导定义如下: 同理可得的定义,其中a和x是黎曼刘维尔的左右分式导数: 这里Γ(·)是标准的伽玛函数。
此外,分数阶非线性薛定谔方程有以下质量守恒形式: Q(t)=‖u=Q(0) 和能量守恒形式:
其中‖u和‖u分别是u(x,y,t)上的L2范数和L4范数。
应用加权和偏移Grunwald-Letnikov方法对方程(1)进行空间离散。将求解区域剖分为一个n×n网格点的二维系统,定义一个n×n的解矩阵U来存储网格点上的未知值。为了减少所需的存储量和运行时间,引入了分数阶微分矩阵。分数阶导数算子在x方向和y方向产生2个微分矩阵Dx和Dy,这样分数阶导数在网格点的值就可以由微分矩阵与解矩阵的乘积得到。
空间离散后得到一组非线性常微分方程组, 采用隐式紧致积分因子[17]的方法求解该常微分方程组[18]。 在二维情况下,紧致积分因子方法的运算量是o(n3), 非紧致方法的运算量会达到o(n4)。 紧致积分因子方法[19-22]的指数矩阵eDx和eDy可以在预处理阶段计算和存储, 在时间循环过程中可以直接应用;对扩散项的精确计算与非线性项的隐式处理解耦, 只需在每个时间周期内求解每个空间网格点的局部非线性代数方程组, 因此, 紧致积分因子方法在存储和分数阶扩散问题的计算上更有效。
1 数值方法
下面给出带有齐次狄利克雷边界条件的分数阶非线性薛定谔方程的求解方法。设定空间域为矩形:Ω=[a,b]×[c,d],将其离散化为如下矩形网格: Th={(xj,yk)=(a+jhx,c+khy),j=0,1,…,Nx,k=0,1,…,Ny},
其中:是2个正整数。假设U,V∈CNx×Ny,定义元素符号“⊙”表示2个矩阵U和V元素相乘: (U⊙V)j,k=(ujkvjk)
同时定义离散空间上的内积和范数: 其中是Vj,k的共轭。
使用加权和偏移Grunwald-Letnikov近似方法[23]来逼近左、右黎曼刘维尔空间分数阶导数。左、右黎曼刘维尔分数阶导数在x方向作为加权和偏移Grunwald-Letnikov公式按如下定义:
这里j=1,…,Nx-1,k=1,…,Ny-1,系数有如下表达式:
其中:在y方向的左右黎曼刘维尔分式导数c,y以相似方法定义。 采用矩阵U表示定义在节点(xj,yk)的数值解: 引入微分算子a的微分矩阵:
将式(2)～式(3)写成矩阵形式,可以得到方程(1)的差分格式如下: (4)
2 隐式积分因子方法
定义时间步长τ=Δt,则第n层时间步长tn=nτ,n=0,1,2…。在方程(4)左乘指数矩阵e-Axt,同时右乘指数矩阵e-Ayt,可以得到下面的等式: 然后从tn到tn+1进行积分,整理得到
通过拉格朗日插值多项式,整理得到二阶紧致差分格式:
3 数值算例
在一个正方形区域[-10,10]2上执行计算,取β=1,初值条件首先验证离散守恒定律。图1描述了在时间区间[0,10]上离散的质量和能量的演化,可以观察到WSGD方法准确守恒。然而,质量守恒与α无关,能量随α增长而变化。然后取τ=0.01,h=0.1,计算初值条件下的离散能量。当α=1.3,1.5,1.8,2时,E(0)=2.66,2.79,3.09,3.35,由于正初值能量没有爆破现象,与理论结果一致。在时间t=1时,得到不同α的数值解|u|(见图2),由此可以观察到随着α逐渐减少,波函数明显衰减得更快,波形越来越高,越来越陡峭。 这些现象表明,α越小,分数阶导数的非局部效应越强。
4 结 论
结合加权偏移Grunwald-Letnikov空间离散方法和紧致积分因子时间离散方法来计算二维分数阶非线性薛定谔方程,不但减少存储量和计算量,而且数值试验验证了方法的有效性。将来还可以将该方法推广至求解更多的分数阶反应扩散方程。 参考文献:
[1]EMAD A B,ABDEL S,ELTAYEB A Y,et al. Analytical solution of the space-time fractional nonlinear Schr?dinger equation[J]. Math Phys, 2016,77(1):19-34.
[2]ZHU S H. On the blow-up solutions for the nonlinear fractional Schr?dinger
equation[J].
Journal
Differential
Equations,
2016,261(2):1506-1531.
[3]DUO S W,ZHANG Y Z. Mass-conservative Fourier spectral methods for solving the fractional nonlinear Schr?dinger equation[J]. Comput Math Appl, 2016,71(11):2257-2271.
[4]LASKIN N. Fractional quantum mechanics[J]. Phys Rev E Stat Phys Plasmas Fluids Relat Interdiscip Topics, 2000,62(3):3135-3145.
[5]BARKAI E. CTRW pathways to the fractional diffusion equation[J]. Chem Phys, 2002,284:13-27.
[6]CELIK C,DUMAN M. Crank-Nicolson method for the fractional diffusion equation with the Riesz fractional derivative[J]. J Comput Phys, 2012,231(4):1743-1750.
[7]CHEN M H,DENG W H. A second-order numerical method for two-dimensional two-sided space fractional convection diffusion equation[J]. Appl Math Model, 2014,38(13):3244-3259.
[8]KAY K,ENNO L,GIGLIOLA S. On the continuum limit for discrete NLS with Long-Range lattice interactions[J]. Commun Math Phys, 2013,317(3):563-591.
[9]JURG F B,LARS G J,ENNO L. Boson stars as solitary waves[J]. Commun Math Phys, 2007,274(1):1-30.
[10]ENNO L. Well-posedness for semi-relativistic Hartree equations of critical type[J]. Math Phys Anal Geom, 2007,10(1):43-64.
[11]MEERSCHART M M,TADJERAN C. Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations[J]. J Comput Appl
二维分数阶非线性薛定谔方程的守恒数值方法
