设计一：二阶弹簧—阻尼系统的PID控制器设计及其参数整定
一设计题目
考虑弹簧－阻尼系统如图1所示，其被控对象为二阶环节，传递函数G(S)如下，参数为M=1kg，b=2N.s/m，k=25N/m，F（S）=1。
图1 弹簧－阻尼系统示意图
弹簧－阻尼系统的微分方程和传递函数为：
二设计要求
1. 控制器为P控制器时，改变比例系数大小，分析其对系统性能的影响并绘制相应曲线。 2. 控制器为PI控制器时，改变积分时间常数大小，分析其对系统性能的影响并绘制相
应曲线。(例如当kp=50时，改变积分时间常数)
3. 设计PID控制器，选定合适的控制器参数，使闭环系统阶跃响应曲线的超调量
σ%<20%，过渡过程时间Ts<2s, 并绘制相应曲线。
图2 闭环控制系统结构图
三设计内容
1. 控制器为P控制器时，改变比例系数kp大小
P控制器的传递函数为：GP(s)?KP，改变比例系数kp大小，得到系统的阶跃响应曲线
仿真结果表明：随着Kp值的增大，系统响应超调量加大，动作灵敏，系统的响应速度加快。Kp偏大，则振荡次数加多，调节时间加长。随着Kp增大，系统的稳态误差减小，调节应精度越高，但是系统容易产生超调，并且加大Kp只能减小稳态误差，却不能消除稳态误差。 程序：
num=[1]; den=[1 2 25]; sys=tf(num,den); for Kp=[1,10:20:50] y=feedback(Kp*sys,1); step(y); hold on
gtext(num2str(Kp));
end
2. 控制器为PI控制器时，改变积分时间常数Ti大小（KpPI控制器的传递函数为： GPI(s)?KP??50为定值）
11? ，改变积分时间常数Ti大小，得到系统TIs的阶跃响应曲线
仿真结果表明：Kp=50，随着Ti值的加大，系统的超调量减小，系统响应速度略微变慢。相反，当Ti的值逐渐减小时，系统的超调量增大，系统的响应速度加快。Ti越小，积分速度越快，积分作用就越强，系统震荡次数较多。PI控制可以消除系统的稳态误差，提高系统的误差度。
程序
num=[1]; den=[1 2 25]; Kp=50;
sys=tf(num,den); for Ti=1:2:7
PI=tf(Kp*[Ti 1],[Ti 0]); y=feedback(PI*sys,1); step(y,8) hold on
gtext(num2str(Ti)); end
3. 控制器为PID控制器时，改变微分时间常数Td大小（KpPID控制器的传递函数为：GPID(s)?KP??50，Ti?0.15）
11??TD?s ，改变微分时间常数Td 大小，TIs得到系统的阶跃响应曲线
仿真结果表明：Kp=50、Ti=1，随着Td值的增大，闭环系统的超调量减小，响应速度加快，调节时间和上升时间减小。加入微分控制后，相当于系统增加了零点并且加大了系统的阻尼比，提高了系统的稳定性和快速性。
程序
num=[1]; den=[1 2 25]; sys=tf(num,den); Kp=50; Ti=0.15;
for Td=[0.1,0.15,0.2]
PID=tf(Kp*[Ti*Td,Ti,1],[Ti,0]); y=feedback(PID*sys,1);
step(y,10) hold on
gtext(num2str(Td)); end
4.选定合适的控制器参数，设计PID控制器
根据上述分析，Kp=50，Ti=0.15；Td=0.2，可使系统性能指标达到设计要求。 经计算，超调量?%?10%?20%，过渡过程时间Ts?1.3(s)?2(s)满足设计要求。系统的阶跃曲线如下图
四设计小结
PID参数的整定就是合理的选取PID三个参数。从系统的稳定性、响应速度、超调量和稳态误差等方面考虑问题，三参数作用如下：
? 比例调节作用：成比例地反映系统的偏差信号，系统一旦出现了偏差，比例调节
立即产生与其成比例的调节作用，以减小偏差。随着Kp增大，系统的响应速度加快，系统的稳态误差减小，调节应精度越高，但是系统容易产生超调，并且加大Kp只能减小稳态误差，却不能消除稳态误差。比例调节的显着特点是有差调节。
? 积分调节作用：消除系统的稳态误差，提高系统的误差度。积分作用的强弱取决
于积分时间常数Ti，Ti越小，积分速度越快，积分作用就越强，系统震荡次数较多。当然Ti也不能过小。积分调节的特点是误差调节。
? 微分调节作用：微分作用参数Td的作用是改善系统的动态性能，在Td选择合适
情况下，可以减小超调，减小调节时间，允许加大比例控制，使稳态误差减小，提高控制精度。因此，可以改善系统的动态性能，得到比较满意的过渡过程。微分作用特点是不能单独使用，通常与另外两种调节规律相结合组成PD或PID控制器。
表一 各参数对调节过程的影响
性能指标 Kp ↑ 偏差 稳态误差 ↑ ↓ 参数 Ti ↓ ↑ — Td ↑ ↓ — 超调量 振荡频率 ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 比例、积分、微分控制作用是相互关联的，参数的调整必须考虑不同时刻各个参数的作用以及相互之间的互联作用。
控制系统仿真与CAD课程设计二阶弹簧阻尼系统的PID控制器设计及其参数整定
