2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1．（4分）集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（ ） A．（3，+∞） C．（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．（2，3）
2．（4分）已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（ ） A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
3．（4分）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ） A．y＝x+2
B．y＝sinx
C．y＝x﹣x3
D．y＝2x
4．（4分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（ ） A．10
B．9
C．8
D．7
5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（ ） A．﹣
B．﹣
C．
D．﹣
6．（4分）设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（ ） A．a+b＞c
B．ab＞c2
C．
D．
7．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A．2C．
，且，且
?S
B．2D．
，且，且
∈S
8．（4分）已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则
的最小值为（ ） A．
B．2（
﹣1）
C．4
D．4
9．（4分）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那
么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ） ①绕着x轴上一点旋转180°； ②沿x轴正方向平移； ③以x轴为轴作轴对称；
④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．
A．①③
B．③④
C．②③
D．②④
10．（4分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四
个实数解x（2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（ ） ii＝1，A．（0，101]
B．（0，99]
C．（0，100]
D．（0，+∞）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为 ． 12．（5分）若向量
满足
，则实数x的取值范围是 ．
13．（5分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处． ① ． ② ． 14．（5分）函数
的最小正周期为 ；若函数f（x）在区间（0，a）
上单调递增，则a的最大值为 ．
15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 ． ①a的值可以为2； ②a的值可以为③a的值可以为2+
； ；
三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜条件：
①函数f（x）的周期为π； ②x＝③f（
是函数f（x）的对称轴； ）＝0且在区间（
，
）上单调．
）满足下列3个条件中的2个
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若x∈[0，
]，求函数f（x）的值域．
17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2． （Ⅰ）求证：AB∥平面POC； （Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；
（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．
18．（14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图： （Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数； （Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）
19．（14分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；
（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．
20．（15分）设椭圆
，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），
直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．
（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积； （Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．
21．（14分）对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，ak满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n，且a1+a2+…+ak＝n，则称数组（a1，a2，…，ak）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，…，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn．
（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；
（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；
（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：fn≤gn；并求出使得等号成立的n的值．
（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，ak）与（b1，b2，…，bn），当且仅当k＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，ak＝bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)(解析版)
