贵阳清华中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）． （1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；
（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．
【答案】（1）AB=25；（2）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、 C6（1,0）；（3）不存在这样的点P． 【解析】 【分析】
（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB； （2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可； （3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案． 【详解】
解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D， 由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=25 （2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2 ． ②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．
③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、 C6、 C7．（用三角板画找出也可） 由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、 C6（1,0）．
（3）不存在这样的点P．
作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB， 作B关于x轴的对称点B′，连结AB′， 由图可以看出两线交于第一象限． ∴不存在这样的点P．
【点睛】
本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．
2．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】
定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可； （1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答； （2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答. 【详解】 解：定理证明： ∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°． 又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PB．
定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
∵直线m是边BC的垂直平分线， ∴OB＝OC，
∵直线n是边AC的垂直平分线，
∴OA＝OC， ∴OA＝OB ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH；
（2）如图③中，连接BD，BE．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E， ∴DA＝DB，EB＝EC，
∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC， ∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE， ∴DE＝5， 故答案为：5． 【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.
3．已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点. (1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt?ABC，若OA?2，OB?4，试求C点的坐标；
(2)如图2，若点A的坐标为?23,0，点B的坐标为?0,?m?，点D的纵坐标为n，以
??B为顶点，BA为腰作等腰Rt?ABD.试问：当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不
变时，整式2m?2n?53的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，E为x轴负半轴上的一点，且OB?OE，OF?EB于点F，以OB为边作等边?OBM，连接EM交OF于点N，试探索：在线段EF、EN和MN中，哪条线段等于EM与ON的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为?3；（3）EN=【解析】 【分析】
1(EM-ON)，证明见详解. 2（1）作CQ⊥OA于点Q,可以证明AQC?BOA，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C的坐标；
（2）作DP⊥OB于点P，可以证明AOB?BPD，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n为定值，从而可以求出结论2m?2n?53的值不变为?3. （3）作BH⊥EB于点B，由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO?BGM，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=ON). 【详解】
（1）如图（1）作CQ⊥OA于Q,
1(EM-2
, ∴∠AQC=90°
∵△ABC为等腰直角三角形， , ∴AC=AB,∠CAB=90°∴∠QAC+∠OAB=90°, ∵∠QAC+∠ACQ=90°, ∴∠ACQ=∠BAO,
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