2021年高考数学第一轮复习教案人教版
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】
O
1．斜线长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
B A ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
③垂线段比任何一条斜线段都短． D C 2．重要公式
如图，已知OB?平面?于B，OA是平面?的斜线，A为斜足，直线AC?平面?，设?OAB=?1，又?CAB=?2，?OAC=?．那么
cos?=cos?1cos?2． 3．直线和平面所成的角
①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．
②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角．
4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称 语言表述 图 示 字母表示 应 用 ①证两直线垂直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角 同 上 在平面内的一条直线,三垂线如果和这个平面的一条定 理 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 三垂线在平面内的一条直线,定理的如果和这个平面的一条逆定理 斜线垂直,那么它也和 P ? A P O a O a ? A 这条斜线的射影垂直. 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”． 【点击双基】
1．下列命题中，正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行
(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线
(D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线 2．直线a、b在平面?内的射影分别为直线a1、b1，下列命题正确的是 ( ) (A)若a1?b1，则a?b (B)若a?b，则a1?b1 (C)若a1??b1，则a与b不垂直 (D)若a??b，则a1与b1不垂直 3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a与b实用文档
是 ( )
(A)异面直线 (B)相交直线
(C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线
4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部，则射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PA?BC，PB?AC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为?．这两条斜线段在平面内的射影成的角为?(90???<180?)，那么?与?的关系是 ( )
(A)?? (C)??? (D)???
8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则l2与平面所成角的取值范围是 ( )
(A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90] 【典例剖析】
例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．
已知：四面体ABCD中，AB?CD，AD?BC；
A 求证：AC?BD；
c 证法一：作AO?平面BCD于O， a 连OB、OC、OD，∵AB?CD，∴OB?CD，同理，由AD?BC得OD?BC， b D B ∴O是△BCD的垂心，∴OC?BD，从而AC?BD．
O 证法二：设=a，=b，=c，则=ba，=ca，=cb， C ∵AB?CD，AD?BC，∴a(cb)=0，c(ba)=0，则ac=ab，ac=cb． ∴ab=cb，即abcb=0，从而有b(ca)=0，故?．
例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90，ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l．
(1)判断l与MN的位置关系，并进行证明；
P
(2)求点M到直线l的距离． 解：(1)l??MN，证明如下： M N ∵M、N分别是PA、PB的中点， ∴MNAB，MN平面ABC，AB平面ABC， A
B
∴MN平面ABC．又∵MN平面MNC，
Q l 平面MNC平面ABC=l，∴MNl．
(2)取AC的中点Q，连MQ，则MQPC， D C 而PC平面ABC，∴MQ平面ABC．
作QD直线l于D，连MD，则MD直线l． 线段MD的长即为M到直线l的距离． 在Rt△ABC中，可求得AC=4，∴QC=2． 又MQ=PC=3，?QCD=30?，∴QD=QC=． 于是 MD==2．
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例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和 ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。
证明： ∵O是ΔABC的垂心，∴BC⊥AE。 ∵PA⊥平面ABC， 根据三垂线定理得BC⊥PE。∴BC⊥平面PAE。∵Q是ΔPBC 的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，∴OQ⊥BC。 ∵PA⊥平面ABC，BF平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是ΔABC的垂心，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC。因而FM是BM在平
面PAC内的射影。因为BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，
FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM。又OQ平面BFM，所以OQ⊥PC。 综上知 OQ⊥BC，OQ⊥PC，所以OQ⊥平面PBC。
说明：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。
例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=，2AB=BC=BB1=a，且
A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。
（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；（3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1 从而A1B1⊥平面BB1C1C。
（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C， ∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1C⊥BC1
（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C。
例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝2BC＝4时，求MN的长。
P（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
M ∴，∵ 平面 ，∴ 平面
∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 CA
，∵∴，又，∴ NB
∴，∴，由三垂线定理得 （2）∵，∴，∴，∵平面 ∴，且，∴
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。
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