考点 43 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题
1. (2012·安徽高考理科·T 9 过抛物线 24y x =的焦点 F 的直线交该抛物线于 , A B
两点, O 为坐标原点,若 3AF =,则△ AOB ?的面积为( ( A 2 ( B ( C 2 (
D 【解题指南】 设 (0 AFx θθπ∠=<<,根据抛物线的定义知 323cos θ=+,同理可以 得 2cos( BF BF πθ=+-,解出 BF ,代入公式
1
sin 2S OF AB θ= ???.
【解析】 选 C . 设 (0 AFx θθπ∠=<<及 BF m =,则点 A 到准线 l : :1l x =-的距离为 3 得:又 AOB ?
的面积为
113sin 1(3 22232S OF AB θ=???=??+?=
. 二、填空题
2. (2012·安徽高考文科·T 14过抛物线 2 4y x =的焦点 F 的直线交该抛物线于 , A B 两点,若 ||3AF =,则 ||BF =______.
【解题指南】 设 (0 AFx θθπ∠=<<,根据抛物线的定义知 323cos θ=+,同理可以 得 2cos( BF BF πθ=+-,解出 BF .
【解析】 设 (0 AFx θθπ∠=<<, BF m =,则点 A 到准线 :1l x =-的距离为 3, 得 【答案】 3 2
三、解答题
3. (2012·天津高考理科·T 19 设椭圆 22 22+=1x y a b
(>>0a b 的左、 右顶点分别为 A , B ,点 P 在椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点 .
(Ⅰ若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 1 2
-,求椭圆的离心率; (Ⅱ若 ||=||AP OA ,证明直线 OP 的斜率 k
满足 |k 【解析】 (Ⅰ 设点 P 的坐标为 00(x ,y , 由题意得 22 00
221(1x y a b +=, 由 -A a a (,0 ,B(,0 , 得
0000, AP BP y y k k x a x a =
=+-,由 1. -2AP BP k k =,可得 222002x a y =-,代入(1 并整理得 由于 故 于是 222 212
22a b e e a -==?= ,
所以椭圆的离心率 22122b e a -=?=.
(Ⅱ方法一:依题意,直线 OP 的方程为 y kx =,设点 P 的坐标为 00x y (, ,由条 件得 002
2 0022, 1,
y kx x y a b =???+=??消去 y 0并整理得 222 0222=,(2a b x k a b +(2 ,
由 |AP|=|OA|,-,0, , a y kx =A (及 00-,0, , a y kx =A (得 2222 00 x a k x a ++=(, 整理得 22
001++2=0k x ax ( , 而 x 0≠ 0, 于是 代入(2整理得 22 221+=4k( 4 a k b +( , 0, a b >>∴
方法二:依题意,直线 OP 的方程为 y kx =,可设点 P 的坐标为 由点 P
在椭圆上,有 22200221x k x a b +=, 00, 0a b kx >>≠ , 222 00
221x k x a a ∴+<,
22201+,(3k a <( x (3,由 |AP|=|OA|,-,0, a A (得 222 200 x a k x a ++=(,整理得 22001++2=0k x ax ( , 于是 002
20, 1a x x k -≠∴= + ,代 3得 解得 23, ||k k >∴
>4. (2012·天津高考文科·T 19已知椭圆 2222+=1x y a b (>>0a b ,点 , 52 P a 在
椭圆上 .
(Ⅰ求椭圆的离心率;
(Ⅱ设 A 为椭圆的左顶点, O 为坐标原点,若点 Q 在椭圆上且满足 ||=||AQ AO , 求直线 OQ 的斜率的值 .
【解题指南】 利用椭圆的几何性质、两点间的距离公式等知识综合求解 . 【解析】 (Ⅰ
2012年高考试题分类考点43 直线与圆锥曲线的位置关系
