不是因为看到希望才坚持，而是因为坚持才会看到希望。
专题一 集合与常用逻辑用语 第二讲 常用逻辑用语
答案部分
1．A【解析】若m??，n??，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥?．若m∥?，
m??，n??，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥?”的充分不必要条件．故选A．
2．B【解析】a，b，c，d是非零实数，若ad?bc，则
bd?，此时a，b，c，d不acac一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则?，所以ad?bc，所
bd以“ad?bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B．
3．A【解析】由x?8，得x?2，由|x|?2，得x?2或x??2，故“x?8”是“|x|?2”
的充分而不必要条件，故选A． 4．A【解析】由a?1可得
3311?a11?0， ?1成立；当?1，即?1?aaaa1解得a?0或a?1，推不出a?1一定成立；所以“a?1”是“?1”的充分非必要
a条件．故选A．
5．B【解析】由2?x≥0，得x≤2，由|x?1|≤1，得0≤x≤2，
所以“2?x?0”是“|x?1|?1”的必要而不充分条件．选B．
6．B【解析】取x?0，知p1成立；若a2?b2，得|a|?|b|，q为假，所以p??q为真，
选B．
7．A【解析】因为m,n为非零向量，所以m?n?|m||n|cos?m,n??0的充要条件是
cos?m,n??0．因为??0，则由m??n可知m,n的方向相反，?m,n??180，
所以cos?m,n??0，所以“存在负数?，使得m??n”可推出“m?n?0”；而
m?n?0可推出cos?m,n??0，但不一定推出m,n的方向相反，从而不一定推得
“存在负数?，使得m??n”，所以“存在负数?，使得m??n”是“m?n?0”的充分而不必要条件．
不是因为看到希望才坚持，而是因为坚持才会看到希望。
8．C【解析】∵(S6?S5)?(S5?S4)?a6?a5?d，当d?0，可得S4+S6?2S5；
当S4+S6?2S5，可得d?0．所以“d?0”是“S4+S6?2S5” 充分必要条件，选C．
9．A【解析】根据已知，如果直线a,b相交，则平面?,?一定存在公共点，故其一定相交；
反之，如果平面?,?相交，分别位于这两个平面内的直线不一定相交，故为充分不必要条件，选A．
10．A【解析】当b?0时，f(x)minbb2b2?f(?)??，即f(x)?[?,??)，
244b2b2b而f(f(x))?f(x)?bf(x)?(f(x)?)?的对称轴也是?，
2422bb2b2b又??[?,??)，所以当f(x)??时，f(f(x))min??，
2442故f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等；
另一方面，取b?0，f(x)?x与f(f(x))?x有相等的最小值0，故选A． 11．A 【解析】由“x?1”显然能推出“x?2x?1?0”，故条件是充分的；
2又由“x?2x?1?0”可得(x?1)?0?x?1，所以条件也是必要的；故选A．
224212．D 【解析】若a?b?0，取a?3,b??2，则ab?0不成立；反之，若a??2,b??3，
则a?b?0也不成立，因此“a?b?0”是“ab?0”的既不充分也不必要条件． 13．C【解析】∵(?1,3)?(??,3)，所以p是q成立的必要不充分条件． 14．A【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为
?x?(0,??)，lnx?x?1，故应选A．
15．A【解析】a＞b＞1时，有log2a?log2b?0成立，反之也正确．
16．D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，
故选D．
17．A 【解析】∵cos2??cos??sin?，当sin??cos?时，cos2??0，充分性成
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立；当cos2??0时，即cos??sin??0，∴cos??sin?或cos???sin?，必要性不成立．
18．A【解析】a?b?|a|?|b|cos?a,b?，由已知得cos?a,b??1，即?a,b??0，
22a//b.而当a∥b时，?a,b?还可能是?，此时a?b??|a||b|，
故“a?b?ab”是“a//b”的充分而不必要条件． 19．B【解析】∵x?(0,)，所以sin2x?0．任意x?(0,)，ksinxcosx?x，等价22?2x?于任意x?(0,)，k?．当x?(0,)时，0?2x??，设t?2x，
2sin2x2??则0?t??．设f(t)?t?sint，则f?(t)?1?cost0，所以f(t)?t?sint
t?1，所以k≤1． sint在(0,?)上单调递增，所以f(t)?0，所以t?sint?0，即所以任意x?(0,2x，等价于k≤1．因为k≤1?k?1，
2sin2x?但k≤1?k?1，所以“对任意x?(0,)，ksinxcosx?x”是
2)，k?“k?1”的必要而不充分条件．
20．C【解析】设f(x)?x，f?(0)?0，但是f(x)是单调增函数，在x?0处不存在极值，
故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题，故选C． 21．A【解析】由正弦定理
3?ab，故“a?b”?“sinA?sinB”． ?sinAsinB22．C【解析】把量词“?”改为“?”，把结论否定，故选C．
23．A【解析】当a?b?1时，(a?bi)?(1?i)?2i，反之，若(a?bi)?2i，
则有a?b??1 或a?b?1，因此选A．
24．C【解析】由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p?q为假
命题，②p?q为真命题，③q为真命题，则p?(?q)为真命题，④p为假命题，则(?p)?q为假命题，所以选C． 25．A【解析】从原命题的真假人手，由于
??222an?an?1?an?an?1?an??an?为递减数列，2即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A．
不是因为看到希望才坚持，而是因为坚持才会看到希望。
26．D【解析】\b?4ac?0\推不出\ax?bx?c?0\，因为与a的符号不确定，所以A
不正确；当b?0时，由\a?c\推不出\ab?cb\，所以B不正确；“对任意x?R，有x?0”的否定是“存在x?R，有x?0”，所以C不正确．选D． 27．C【解析】当a=0 时，f?x??x，∴f?x?在区间?0,???内单调递增；
当a?0时，f?x??a?x?222222??11?中一个根?0，另一个根为0，由图象可知f?x?x? aa?在区间?0,???内单调递增；∴\a?0\是“函数f(x)=(ax-1)x在区间(0,+?)内单调递增”的充分条件，相反，当f?x??a?x?∴a?0或
??1??x在区间(0,+?)内单调递增， a?1?0，即a?0；\a?0\是“函数f(x)=(ax-1)x在区间(0,+?)内 a单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选C． 28．A【解析】当???时，y??sin2x过原点；y?sin?2x???过原点，
则?????,??,0,?,???等无数个值．选A．
29．C【解析】设z?a?bi,a,b?R?z?a?b?2abi．
对选项A: 若z?0,则b?0?z为实数,所以z为实数为真．
对选项B: 若z?0,则a?0,且b?0?z为纯虚数,所以z为纯虚数为真．
2对选项C: 若z为纯虚数,则a?0,且b?0?z?0,所以z?0为假． 2对选项D: 若z为纯虚数,则a?0,且b?0?z?0,所以z?0为真．
2222222所以选C．
π
30．B【解析】由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=+kπ，k?Z，所以选项B正
2
确．
231．D【解析】否定为：存在x0?R，使得x0?0，故选D．
32．C【解析】由命题的否定易知选C．
33．A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即为：“甲或乙没有降落在指定范围
内”．
不是因为看到希望才坚持，而是因为坚持才会看到希望。
34．D【解析】存在性命题的否定为“?”改为“?”，后面结论加以否定，
3故为?x0?CRQ,x0?Q．
35．C【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以 “若??则tan??1”的逆否命题是 “若tan??1，则?????4，
?4”．
36．A【解析】①???,b?m,????m,b???b??,a???b?a
②如果a//m；∵b?m，一定有a?b但不能保证b??，既不能推出???
2237．D【解析】∵?x?R,e?0，故排除A；取x=2,则2?2，故排除B；a?b?0，
x取a?b?0，则不能推出
a??1，故排除C；应选D． b38．B【解析】a?0时a?bi不一定是纯虚数，但a?bi是纯虚数a?0一定成立，
故“a?0”是“复数a?bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
39．B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该
命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B．
40．A【解析】p：“函数f?x??a在R上是减函数 ”等价于0?a?1；q：“函数
xg?x???2?a?x3在R上是增函数”等价于2?a?0，即0?a?2,且a≠1，
故p是q成立的充分不必要条件．选A． 41．C【解析】命题p为假,命题q也为假,故选．
42．A【解析】a?b?c?3的否定是a?b?c?3，a2?b2?c2≥3的否定是a2?b2?c2<3，
故选A．
43．A【解析】由a?b?1a2?b2?2abcos??2?2cos??1得， cos???，
2?2?????0,?3得cos???22?．由a?b?a?b?2abcos??2?2cos??1 ?1???????,??．选A． 2?3?44．D【解析】根据定义若“若a?b，则a??b”．
45．A【解析】显然a?1时一定有N?M，反之则不一定成立，如a??1，
故“a?1”是“N?M” 充分不必要条件．
不是因为看到希望才坚持，而是因为坚持才会看到希望。
46．D【解析】根据定义容易知D正确．
??47．C【解析】∵p1是真命题，则p1为假命题；p2是假命题，则p2为真命题，
∴q1：p1?p2 是真命题，q2：p1?p2是假命题，q3：??p1??p2为假命题，
q4：p1???p2?为真命题，故选C．
121b2b248．C【解析】由于a>0，令函数y?ax?bx?a(x?)?，此时函数对应的开
22a2ab2bb口向上，当x=时，取得最小值?，而x0满足关于x的方程ax?b，那么x0=，
2aaa12b2ymin=ax0?bx0??，那么对于任意的x∈R，
22ab21212都有y?ax?bx≥?=ax0?bx0．
2a2249．1?1（答案不唯一）【解析】由题意知，当a?1，b??1时，满足a?b，但是
故答案可以为1?1．（答案不唯一，满足a?0，b?0即可）
50．①④【解析】由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，
C也不例外，故①正确；
11?，ab
对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝＜32，故②错；
对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；
对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，
3|AB|＝32，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝42不是因为看到希望才坚持，而是因为坚持才会看到希望。
同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|， 则得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|， 故O为梯形内唯一中位点是正确的．
51．3或4【解析】 易知方程得解都是正整数解，由判别式??16?4n≥0得，
1≤n≤4，逐个分析，当n?1,2时，方程没有整数解；而当n?3时，
方程有正整数解1、3；当n?4时，方程有正整数解2． 52．【解析】对任何x?R，都有x?2x?5?0．
2
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