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x2a2?y2b2?0
a2ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??. 渐近线
c?x?asec??x?btan?y2x2yx方程：??0或2?2?0，参数方程：?或? .
y?btan?y?asec?abab??2a2c②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准线距
ca2b2c（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系c2?a2?b2,e?. ⑥焦点半径公式：对于双曲
aa线方程
x2a2?y2b2?1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则： MF1?ex0?aMF2?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a
▲M?F1??ex0?aM?F2??ex0?ay（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
径要带符号计算，而双曲线不带符号） M'▲yF1MMMF1?ey0?aMF2?ey0?aM?F1??ey0?a?M?F2??ey0?a?F1F2xx
F2M'⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭x2y2x2y2x2y2双曲线.2?2??与2?2???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0.
ababab⑸共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
x2a2?y2b2?0如果双曲线的
▲x2y2xy渐近线为??0时，它的双曲线方程可设为2?2??(??0).
ababy4321F2x例如：若双曲线一条渐近线为y?解：令双曲线的方程为：
211x且过p(3,?)，求双曲线的方程？ 2222F1533yx1x??1. ?y2??(??0)，代入(3,?)得8242⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
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区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐“?”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线
x2a2?y2b2?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的
距离比为m︰n.
PF1简证：
d1m?e = . d2PF2ne常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： y2?2px y2??2px x2?2py x2??2py _
图形 ▲y▲y▲y▲yxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 2 F(?p,0) 2 F(0,p) 2F(0,?p) 2 pF(,0) 2p 2x?0,y?R x??p 2x?0,y?R x?p 2x?R,y?0 y??p 2x?R,y?0 y?x轴 y轴 （0，0） e?1 p?x1 2p?x1 2p?y1 2p?y1 2PF?PF?PF?PF?4ac?b2b注：①ay?by?c?x顶点(?).
4a2a②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线； 当e?0时，轨迹为圆（e?c，当c?0,a?b时）. a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是
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关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
定义 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
程 方程 范围 中心 顶点 ─a?x?a，─b?y?b 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) |x| ? a，y?R 原点O（0，0） (a,0), (─a,0) x?0 (0,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. F1(c,0), F2(─c,0) 2c （c=a?b） 22x轴 焦点 焦距 离心率 准线 F1(c,0), F2(─c,0) 2c （c=a?b） 22pF(,0) 2 e=1 e?c(0?e?1) ae?c(e?1) aa2x=? c a2x=? cy=±x??p 2渐近线 焦半径 通径 bx a r?a?ex 2b2 ar??(ex?a) 2b2 ar?x? 2p P p 2焦参数 a2 ca2 c1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.
高等考试第一轮深刻复习知识点(数学)
