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可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|． 11．空间向量数量积的性质：
（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．（3）|a|?a?a．
212．空间向量数量积运算律：
（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3 a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a1a2a3?? a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 b1b2b3a?a?a?a12?a22?a3????a?bcos?a,b?????|a|?|b|2(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2?a?a?a?a?a)
a1b1?a2b2?a3b32a12?a22?a3?b122?b22?b3
②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量. （3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|. _
②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB??CD??CE.（常设AB??CD??CE求解
?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相交）.
An▲BB?CA▲n1CDE?n2??
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高中数学第六章-不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a?b?b?a（对称性） （2）a?b,b?c?a?c（传递性） （3）a?b?a?c?b?c（加法单调性）
（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减）
_
（6）a.?b,c?0?ac?bc
（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）
（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）
(9)a?b?0,0?c?d?ab（异向不等式相除） ?cd(10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则） （12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）若a?R,则|a|?0,a2?0
（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 ab?a?b.（当仅当a=b时取等号）
2极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则： 1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○
2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）
ab(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a
（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么
a?b?ab??112?ab2a2?b2（当仅当
.2a=b
时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
_
特别地，ab?(a?b2a2?b2a?b2a2?b2（当a = b时，)?()??ab）
22222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??22?...?an??幂平均不等式：a12?a222221(a1?a2?...?an)2 n2注：例如：(ac?bd)?(a?b)(c?d).
1常用不等式的放缩法：①1?1?nn?1n(n?1)②n?1?n?1n2111??(n?2)
n(n?1)n?1n1n?n?112n1n?n?1?n?n?1(n?1)
（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;则
2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有
f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)
)?.22则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
高等考试第一轮深刻复习知识点(数学)
