高中物理竞赛——稳恒电流习题
一、纯电阻电路的简化和等效
1、等势缩点法
将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。至于哪些点的电势相等，则需要具体问题具体分析—— 【物理情形1】在图8-4甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B两端的等效电阻RAB 。
【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图
对于图8-4的乙图，求RAB就容易了。 【答案】RAB =
3R 。 8【物理情形2】在图8-5甲所示的电路中，R1 = 1Ω ，R2 = 4Ω ，R3 = 3Ω ，R4 = 12Ω ，R5 = 10Ω ，试求A、B两端的等效电阻RAB 。
【模型分析】这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势有什么关系？
☆学员判断…→结论：相等。
因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图，求RAB是非常容易的。事实上，只要满足
R1R3=的关系，我们把桥式电路称为“平衡电桥”。 R2R4【答案】RAB =
15Ω 。 4〖相关介绍〗英国物理学家惠斯登曾将图8-5中的R5换成灵敏电流计○G，将R1 、R2中的某一个电阻换成待测电阻、将R3 、R4换成带触头的电阻丝，通过调节触头P的位置，观察电流计示数为零来测量带测电阻Rx的值，这种测量电阻的方案几乎没有系统误差，历史上称之为“惠斯登电桥”。
请学员们参照图8-6思考惠斯登电桥测量电阻的原理，并写出Rx的表达式（触
头两端的电阻丝长度LAC和LCB是可以通过设置好的标尺读出的）。
☆学员思考、计算… 【答案】Rx =
LCBR0 。 LAC【物理情形3】在图8-7甲所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A、B两点之间的等效电阻RAB 。 【模型分析】在本模型中，我们介绍“对称等势”的思想。当我们将A、B两端接入电源，电流从A流向B时，相对A、B连线对称的点电流流动的情形必然是完全相同的，即：在图8-7乙图中标号为1的点电势彼此相等，标号为2的点电势彼此相等…。将它们缩点后，1点和B点之间的等效电路如图8-7丙所示。
不难求出，R1B =
2、△→Y型变换
55R ，而RAB = 2R1B 。 【答案】RAB = R 。 147【物理情形】在图8-5甲所示的电路中，将R1换成2Ω的电阻，其它条件不变，再求A、B两端的等效电阻RAB 。
【模型分析】此时的电桥已经不再“平衡”，故不能采取等势缩点法简化电路。这里可以将电路的左边或右边看成△型电路，然后进行△→Y型变换，具体操作如图8-8所示。
根据前面介绍的定式，有 Ra =
R1R3R1R52?32?1024 = = Ω Rb = = = Ω
2?3?102?3?1053R1?R3?R5R1?R3?R5R3R53?10 = = 2Ω
2?3?10R1?R3?R5Rc =
再求RAB就容易了。 【答案】RAB = 3、电流注入法
618Ω 。 145【物理情形】对图8-9所示无限网络，求A、B两点间的电阻RAB 。 【模型分析】显然，等势缩点和△→Y型变换均不适用这种网络的计算。这里介绍“电流注入法”的应用。
应用电流注入法的依据是：对于任何一个等效电阻R，欧姆定律都是适用的，而且，对于每一段导体，欧姆定律也是适用的。 现在，当我们将无穷远接地，A点接电源正极，从A点注入电流I时，AB小段导体的电流必为I/3 ； 当我们将无穷远接地，B点接电源负极，从B点抽出电流I时，AB小段导体的电流必为I/3 ； 那么，当上面“注入”和“抽出”的过程同时进行时，AB小段导体的电流必为2I/3 。
最后，分别对导体和整个网络应用欧姆定律，即不难求出RAB 。 【答案】RAB =
2R 。 3〖相关介绍〗事实上，电流注入法是一个解复杂电路的基本工具，而不是仅仅可以适用于无限网络。下面介绍用电流注入法解图8-8中桥式电路（不平衡）的RAB 。
从A端注入电流I ，并设流过R1和R2的电流分别为I1和I2 ，则根据基尔霍夫第一定律，其它三个电阻的电流可以表示为如图8-10所示。
然后对左边回路用基尔霍夫第二定律，有 I1R1 + (I1 ? I2)R5 ? (I ? I1)R3 = 0 即 2I1 + 10(I1 ? I2) ? 3(I ? I1) = 0
整理后得 15I1 ? 10I2 = 3I ① 对左边回路用基尔霍夫第二定律，有 I2R2 ? (I ? I2)R4 ? (I1 ? I2)R5 = 0 即 4I2 ? 12(I ? I2) ? 10(I1 ? I2) = 0
整理后得 ?5I1 + 13I2 = 6I ② 解①②两式，得 I1 =
9921I ，I2 = I 14529很显然 UA ? I1R1 ? I2R2 = UB 即 UAB = 2×
9921618I + 4×I = I 14529145最后对整块电路用欧姆定律，有 RAB = 4、添加等效法
UAB618 = Ω 。
145I【物理情形】在图8-11甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A、B两点间的电阻RAB 。
【模型分析】解这类问题，我们要用到一种数学思想，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即
RAB∥R + R = RAB
解这个方程就得出了RAB的值。 【答案】RAB =
1?5R 。 2〖学员思考〗本题是否可以用“电流注入法”求解？
〖解说〗可以，在A端注入电流I后，设第一级的并联电阻分流为I1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示
对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有 (I ? I1)R + (I ? I1)
I1R ? I1R = 0 I解得 I1 =
5?1
I 2
很显然 UA ? IR ? I1R = UB 即 UAB = IR +
1?55?1
IR = IR
22
最后，RAB =
UAB1?5 = R 。 I2【综合应用】在图8-13甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两点间的等效电阻RAB 。 【解说】当A、B两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E…各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中思想，将CD间的导体、DE间的导体…取走后，电路可以等效为图8-13乙所示的二维无限网络。
对于这个二维无限网络，不难求出 R′= 二、含源电路的简化和计算
1、戴维南定理的应用
【物理情形】在如图8-14甲所示电路中，电源ε = 1.4V，内阻不计，R1 = R4 = 2Ω，R2 = R3 = R5 = 1Ω，试用戴维南定理解流过电阻R5的电流。
22R3?21R 显然，RAB = R′∥∥R′ 【答案】RAB = R 。
3321
【模型分析】用戴维南定理的目的是将电源系统或与电源相关联的部分电路等效为一个电源，然后方便直接应用闭合电路欧姆定律。此电路中的电源只有一个，我们可以援用后一种思路，将除R5之外的电阻均看成“与电源相关联的”部分，于是——
将电路做“拓扑”变换，成图8-14乙图。这时候，P、Q两点可看成“新电源”的两极，设新电源的电动势为ε′，内阻为
r′，则 r′= R1∥R2 + R3∥R4 =
4Ω 3ε′为P、Q开路时的电压。开路时，R1的电流I1和R3的电流I3相等，I1 = I3 =
?（R1?R2)(R3?R4)?17 = A ，215令“老电源”的负极接地，则UP = I1R2 =
7147V ，UQ = I3R4 = V ，所以 ε′= UQP = V 151515最后电路演化成图8-14丙时，R5的电流就好求了。 【答案】R5上电流大小为0.20A，方向（在甲图中）向上。 2、基尔霍夫定律的应用
基尔霍夫定律的内容已经介绍，而且在（不含源）部分电路中已经做过了应用。但是在比较复杂的电路中，基尔霍夫第一定律和第二定律的独立方程究竟有几个？这里需要补充一个法则，那就是——
基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一；
基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数。而且，独立回路的个数m应该这样计算 m = p ? n + 1
其中p为支路数目（不同电流值的数目），n为节点个数。譬如，在图8-15所示的三个电路中，m应该这样计算
甲图，p = 3 ，n = 2 ，m = 3 ?2 + 1 = 2 乙图，p = 6 ，n = 4 ，m = 6 ?4 + 1 = 3 丙图，p = 8 ，n = 5 ，m = 8 ?5 + 1 = 4
以上的数目也就是三个电路中基尔霍夫第二定律的独立方程个数。
思考启发：学员观察上面三个电路中m的结论和电路的外部特征，能得到什么结果？ ☆学员：m事实上就是“不重叠”的回路个数！（可在丙图的基础上添加一支路验证…）
【物理情形1】在图8-16所示的电路中，ε1 = 32V，ε2 = 24V，两电源的内阻均不计，R1 = 5Ω，R2 = 6Ω，R3 = 54Ω，求各支路的电流。
【模型分析】这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为 n ? 1 = 2 ，第二方程的个数为 p ? n + 1 = 2 由第一定律，有 I3 = I1 + I2
由第二定律，左回路有 ε1 ? ε2 = I1R1 ? I2R2 左回路有 ε2 = I2R2 + I3R3 代入数字后，从这三个方程不难解出 I1 = 1.0A ，I2 = ?0.5A ，I3 = 0.5A
这里I2的负号表明实际电流方向和假定方向相反。
【答案】R1的电流大小为1.0A，方向向上，R2的电流大小为0.5A，方向向下，R3的电流大小为0.5A，方向向下。
高中物理竞赛——稳恒电流习题
