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第八章 不定积分
§1 不定积分概念与基本积分公式
一 原函数与不定积分
1 原函数
定义1 设函数f(x)与F(x)在区间I上有定义．若 F?(x)?f(x)， x?I，则称
F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数．
如：x是x在R上的一个原函数；?133211cos2x， cos2x?1，sin2x，?cos2x等都有是sin2x在22R上的原函数——若函数f(x)存在原函数，则其原函数不是唯一的．
问题1 f(x)在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ 问题2 若函数f(x)的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）． 2 原函数存在定理
定理8．1 若f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数F(x)．
证明：在第九章中进行．
说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）．（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件．
3 原函数之间关系
定理8．2 设F(x)是f(x)在在区间I上的一个原函数，则
（1）设F(x)?C是f(x)在在区间I上的原函数，其中C为任意常量（若f(x)存在原函数，则其个数必为无穷多个）．
（2）f(x)在I上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）． 证明：由定义即可得．
4 不定积分
定义2 函数f(x)在区间I上的原函数的全体称为f(x)在I上的不定积分，记作：
?f(x)dx
其中??积分号；f(x)??被积函数； f(x)dx??被积表达式；x??积分变量． 注1
??f(x)dx是一个整体记号；
?f(x)dx=F(x)?C．
不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分是一个函数族?F(x)?C?，其中C是任意常数，于是，记为：
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此时称C为积分常数，它可取任意实数．故有 不定积分简单性质
[f(x)dx]??f(x)——先积后导正好还原； 或 df(x)dx?f(x)dx．
． ?f?(x)dx?f(x)?C——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）
??或 df(x)?f(x)?C．
?x31?C， ?sin2xdx??cos2x?C． 如： ?xdx?322几何意义：
若F(x)是f(x)的一个原函数，则称y?F(x)的图象为f(x)的一条积分曲线．于是，f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，如左图．
结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行．
注： 在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件
F(x0)?y0（称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点(x0,y0)的那条积分曲线．如：见P179.
二 基本积分公式 1基本积分表
由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探．首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式：
x??1?C，(???1,x?0)； 1.?0dx?C；2.?1dx??dx?x?C；3.?xdx???1?4.
1xx?xdx?lnx?C，(x?0)；5.?edx?e?C；
xax1?C， (a?0,a?1)；7.?cosaxdx?sinax?C，(a?0)； 6.?adx?lnaa8.sinaxdx???1cosax?C，(a?0)；9.?sec2xdx?tanx?C； a10.cscxdx??cotx?C；11.secx?tanxdx?secx?C； 12.cscx?cotxdx??cscx?C；13.
?2???dx1?x2arcsinx?C??arccosx?C1；
14.
dx?1?x2?arctanx?C??arccotx?C1．
注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结为这些基本不
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定积分．另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分．
2 线性运算法则
定理8.3 若函数f(x)与g(x)在区间I上都存在原函数，k1,k2 为两个任意常数，则
k1f(x)?k2g(x)也存在原函数，且
?[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1?f(x)dx?k2?g(x)dx（积分的线性）． 证明：由定义即得．
nn注：线性法则的一般形式为：
??kifi(x)dx?fi(x)dx．
i?1?kii?1?例1
p(x)?a?10xn?a1xn???an?1x?an?p(x)dx?a0n?1xn?1?a1nxn???an?12x2?anx?C． 例2 ?x4?1x2?1dx??(x2?1?2x3x2?1)dx?3?x?2arctanx?C． 例3 ?dxcos2x?cos2xsin2x??sin2xcos2xsin2xdx??(csc2x?sec2x)dx ??cotx?tanx?C．
例4 ?cos3x?sinxdx?12?(sin4x?sin2x)dx?1112(?4cos4x?2cos2x)?C ??18(cos4x?cos2x)?C．
例5 ?(10x?10?x)2dx??(102x?10?2x?2)dx??[(102)x?(10?2)x?2]dx
?12ln10(102x?10?2x)?22?C．
作业 P182 2， 3， 5（1）~（16）
中国古代政治制度教学设计
授课人：***
授课内容：君主专制政体的演进与强化
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, 则
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一、教学目标 （1）知识与能力目标
1.掌握重要概念中朝与外朝、三省六部、行省制度等。 2.认识从汉到元政治制度演变的过程。 3.结合历史材料分析中国古代政治制度的特点。
4.理解从汉到元专制主义中央集权制度对中国封建社会发展的影响。 （2）过程与方法目标
1.联系时代背景分析各项措施，理解历史概念，逐步总结出中国古代政治制度的特点。
2.引导学生重视图示、引文等材料，在对历史材料的研读和分析中，初步掌握处理历史资料和一般方法。
3.引导学生运用图表法加强对主干知识的理解，形成本课的知识框架与结构。 （3）情感态度与价值观目标
1.专制主义中央集权的不断加强是它的发展轨迹。
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最新高等数学第8章第1节不定积分概念与基本积分公式
