第九章 压杆稳定 习题解
[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式Pcr??2EIl2。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形
状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得Fcr公式又是否相同。
解： 挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
EIw\??M(x)。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：EIw\?M(x)，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：Pcr?
?2EIl2。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）
?2EI解：压杆能承受的临界压力为：Pcr?。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，
(?.l)2它们能承受的压力与 原压相的相当长度?l的平方成反比，其中，?为与约束情况有关的长
度系数。
（a）?l?1?5?5m （b）?l?0.7?7?4.9m （c）?l?0.5?9?4.5m （d）?l?2?2?4m （e）?l?1?8?8m
（f）?l?0.7?5?3.5m（下段）；?l?0.5?5?2.5m（上段） 故图e所示杆Fcr最小，图f所示杆Fcr最大。
[习题9-3] 图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为Pcr?为什么并由此判断压杆长因数?是否可能大于2。
?2EImin(2.l)2
螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆是否偏于安全
解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素??2，其临界力为：Pcr??2EImin(2.l)2。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素
??2，因此，不能用Pcr??2EImin(2.l)2来计算临界力。
为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度C?且无侧向位移，则：
M??20EI，lEIw\??M(x)?Fcr(??w)
令
Fcr?k2，得： w\?k2w?k2? EI微分方程的通解为：w?Asinkx?Bcoskx?? w?Akcoskx?Bksinkx 由边界条件：x?0，w?0，w???''MFcr??；x?l，w?? CC解得： A?Fcr?F?，B???，??crsinkl??coskl?? CkCk整理后得到稳定方程：kltankl?C?20 EI/l用试算法得： kl?1.496
EI?2EI故得到压杆的临界力：Fcr?(1.496)。 ?2l(2.1l)2因此，长度因素?可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关，C越小，则?值越大。当C?0时，???。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相
对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，??2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度C?M??20EI，l2.12则： ?2?1.1025，Pcr固端?1.1025Pcr,弹簧。因此，校核丝杆稳定性时，把它
Pcr弹簧2看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。
[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为l的等截面中心受压直杆的临界应力Pcr的欧拉公式。
Pcr固端
[解]：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为Pcr，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用Me表示，下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象，则Me的转向为逆转。
M(x)?Pcrv(x)?Me
EIv\??M(x)?Me?Pcrv(x) EIv\?Pcrv(x)?Me
PcrMePcrk212v?v(x)?，令k?，则 ?EIEIEIPcrEI\v\?k2v?k2Me Pcr上述微分方程的通解为：
v?Asinkx?Bcoskx?Me…………………………….(a) Pcrv'?Akcoskx?Bksinkx
边界条件：① x?0；v?0： 0?Asin0?Bcos0?MeM；B??e。 PcrPcr ② x?0 v?0：0?Akcos0?Bksin0；A?0。 把A、B的值代入（a）得： v?
边界条件：③ x?L；v?0：0?'MeM(1?coskx) v'?e?ksinkx PcrPcrMe(1?coskL)， 1?coskL?0 PcrMe?ksinkL sinkL?0 Pcr ④ x?0 v?0：0?' 以上两式均要求：kL?2n?，(n?0,1,3,......)
《材料力学》压杆稳定习题解
