当0＜x＜1时，g′（x）＜0， 当x＞1时，g′（x）＞0， ∴x＝1是g（x）的最小值点， 故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0， ∴当a时，f（x）≥0．
xx2
16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（x）＝e（e﹣a）﹣ax． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝e（e﹣a）﹣ax＝e﹣ea﹣ax， ∴f′（x）＝2e﹣ae﹣a＝（2e+a）（e﹣a）， ①当a＝0时，f′（x）＞0恒成立， ∴f（x）在R上单调递增，
②当a＞0时，2e+a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝lna， 当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， ③当a＜0时，e﹣a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝ln（
xx2xxx22xx2
x2xx），
当x＜ln（）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞ln（）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
综上所述，当a＝0时，f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（
2x））上单调递减，在（ln（），+∞）上单调递增，
（2）①当a＝0时，f（x）＝e＞0恒成立，
②当a＞0时，由（1）可得f（x）min＝f（lna）＝﹣alna≥0， ∴lna≤0，∴0＜a≤1， ③当a＜0时，由（1）可得：
2
f（x）min＝f（ln（））
a2ln（
）≥0，
∴ln（），
∴﹣2a＜0，
综上所述a的取值范围为[﹣2，1]
17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（x）＝（x﹣2）e+a（x﹣1）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝（x﹣2）e+a（x﹣1）， 可得f′（x）＝（x﹣1）e+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e+2a），
①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1， 即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）； ②当a＜0时，（如右下图）若a，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；
xxx2
x2
若a时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．
即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增； 在（1，ln（﹣2a））递减； 若
a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；
由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．
即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增； 在（ln（﹣2a），1）递减； （Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，
f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，
且f（1）＝﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；
当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，
f（x）有两个零点；
②当a＝0时，f（x）＝（x﹣2）e，所以f（x）只有一个零点x＝2； ③当a＜0时， 若a时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，
x在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，
又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点； 当a时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，
在（1n（﹣2a），1）单调减，
只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，
而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意． 综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．
18．【2015年新课标1文科21】设函数f（x）＝e﹣alnx． （Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数； （Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝e﹣alnx的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）＝2e2x2x2x．
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点， 当a＞0时，∵y＝e为单调递增，y∴f′（x）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a）＞0，
假设存在b满足0＜b＜ln时，且b，f′（b）＜0，
2x单调递增，
故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0， 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0， 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增， 所欲当x＝x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0）， 由于
0，
所以f（x0）2ax0+aln2a+aln．
故当a＞0时，f（x）≥2a+aln．
19．【2014年新课标1文科21】设函数f（x）＝alnx处的切线斜率为0， （1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）
x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））
，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）（x＞0），
∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， ∴f′（1）＝a+（1﹣a）×1﹣b＝0，解得b＝1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）＝alnx，
∴①当a时，则
，
．
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x0≥1，使得f（x0）解得
；
的充要条件是，即，
②当a＜1时，则，
则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文(含解析)
