一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度 即 v?s?加速度 即
a?(s?)?则称 定义. 若函数 y?f(x)的导数 y??f?(x)可导,
的导数为 f(x)的二阶导数 , 记作 或
或 f??(x)df(x)或 ,2dx2dyddy()即 y???(y?)?或 2?dxdxdx2类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n?1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
例1. 设 解:
2求
n?1n?2y??a1?2a2x?3a3x???nanxy???2?1a2?3?2a3x???n(n?1)anx依次类推 , 可得
y(n)?n!an思考: 设 y?x(?为任意常数),问
?例2. 设 y?e,求 y解:
axax(n).3axy??ae,y???ae,y????ae,?,y(n)2ax?aenaxx(n)特别有: (e)例3. 设
?ex1y???1?x1y????2(1?x)求
1121?2???,y?(?1),,y????解: y??231?x(1?x)(1?x)?,思考:
y(n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n规定 0 ! = 1 例4. 设
求
??sin(x?解: y??cosx)22?y???cos(x?)2??sin(x???)2??sin(x?2?)2?????y?cos(x?2?2)?sin(x?3?2)一般地 , (sinx)类似可证:
(n)?sin(x??n?)2(cosx)(n)?cos(x?n??)21(n)求 y.例5 . 设 y?x(1?x)11,所以 解: 因为 y??x1?x11y???2?2(1?x)x2!2!y???3?3x(1?x)用数学归纳法，易得
y(n)?(?1)n![n1xn?11?]n?1(1?x)内容小结 高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
n!1(n)n??(?1)如, ?n?1a?x(a?x)n!1(n)???n?1a?x(a?x)思考与练习 1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1)(2)y?1?x1?x3y?x1?x解:
y(n)?2(?1)nn!(1?x)n?1解:
y(n)?n!(1?x)n?1,n?31(3) y?2x?3x?21ABA(x?1)?B(x?2)???提示: 令
(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)x?2x?11?A(x?1)?B(x?2)令x?2,得A?1令x?1,得B??1y(n)n11?y??x?2x?1??11?(?1)n!??n?1n?1?(x?1)??(x?2)
3高阶导数
