1.4第一课时 生活中的优化问题举例
一、课前准备 1．课时目标
（1）了解函数极值和最值的基本应用. （2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域.
(2) 求函数y?f?x?的导数f ?(x)，解方程f ?(x)＝0,求定义域内的根，确定 . (3) 比较函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. (4) 还原到原 中作答. 三、学习引领
1. 常见的优化问题
主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决优化问题的基本程序是：
读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）
3. 需要注意的几个问题
(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.
(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性. 四、典例导析
题型一 几何图形中的优化问题
例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
DC32 1
AxEFxB
思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.
解：设该盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得
a?2x,h?60?2x2?2(30?x),0?x?30.
2（1）由题意包装盒侧面积S?4ah?8x(30?x)??8(x?15)?1800,所以当x?15时，S取得最大值.
（2）由题意知,V?ah?22(30x?x),(0?x?30),V??62x(20?x).由V??0得或x?20.由于当x?(0,20)时，V??0;当x?(20,30)时V??0,所以当x?20x?0（舍）
时，V取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时值为.
规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.
变式训练1今有一块边长a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为多少？
题型二 费用最省问题
223h1?该盒的高与底面边长的比a212 2
例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
80?立方米，且l?2r.假设该容器的建造费用仅与其3表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c,(c?3).设该容
器的建造费用为y千元.
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.
思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.
4?r3804r80?80???r2l?解:（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得l?2?,33r333160?8?r2804r?所以圆柱的侧面积为2?rl=2?r(2?)?,两端两个半球的表面积之和为3r33r34?r2,所以y?'160?l?8?r2+4?cr2,定义域为(0,). r2208?[(c?2)r3?20]160?'3r?y?0（Ⅱ）因为y??2?16?r+8?cr=,所以令得:; 2c?2rr'令y?0得:0?r?32020,所以r?3米时, 该容器的建造费用最小. c?2c?2规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的
导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.
变式训练2 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省? 题型三 利润最大问题
例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y?a?10(x?6)2，其中3?x?6，a为常数,已知x?3销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. （I）求a的值;
（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路导析:问题（I）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求a的值.问题（II）,用x表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.
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