2012年现代控制理论考试试卷
一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，
（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
（ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。
（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
&?Ax，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩（ √ ）4. 对线性定常系统x阵A的特征值都具有负实部是一致的。
（ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。
（ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量；
（ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；
（ × ）8. 若传递函数G(s)?C(sI?A)?1B存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；
（ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；
（ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。
二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）
解：（1）由电路原理得：
二．（10分）图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流和电容C上的电压x2为状态变量，电容C上的电压x2为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。
解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。
以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：iL?x1,uc?x2，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：
从上述两式可解出x1，x2，即可得到状态空间表达式如下：
0??y1??R1R2?y???R?R?2?=?121?R1?R1?R2???0??x1??R2?u?x??R?R?2??2?+?1
??三、（每小题10分共40分）基础题
&&&&&y?3y?2y?&u?u的一个对角规范型的最小实现。（10分） （1）试求&3Y(s)(s?1)(s2?s?1)s2?s?1s?1?3??2?1?1??1…………4分 2U(s)s?3s?2(s?1)(s?s?2)s?s?2s?2s?1不妨令
X1(s)X(s)?1，2??1…………2分 U(s)s?2U(s)s?1于是有 又
X(s)X(s)Y(s)?1?1?2，所以Y(s)?U(s)?X1(s)?X2(s)，即有 U(s)U(s)U(s)y?u?x1?x2…………2分
最终的对角规范型实现为
则系统的一个最小实现为：
?20??1?&x???x???1?u, y??11?x+u…………2分 0?1?????01??1?&??（2）已知系统x?x??2?u, y??1?2?x，写出其对偶系统，判断该系统?23????的能控性及其对偶系统的能观性。（10分） 解答：
?0?2??1?&??xx????2?u13????…………………………2分
y??12?x……………………………………2分
（3）设系统为
试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。 解
?e?t??t????00??e?2t?……………………………..…….……..3分
t0x(t)???t?x(0)????t?Bu(?)dτ?e?t???0……….….……….……..3分
??1??dτ?2?t????1?e????….……..2分 0??t???0??1?t?e?????e?2t??1??0??0?t???e?t?t?e??????2t?????2t???dτ??0?e?.……….…………………..…..1分 ?e????e?t??1?e?t???1?????=?=1?2t1?2t?2t??1?e???e?1?e??????2??2………………..1分
?11??1????x???u试将其化为能控标准型。（10分） （4）已知系统 x??00??1??12?u?1解：uc??，c??10??1?01???11? .……..2分 ??22?1?2? .…….1分
?01?1p1??01?uc??01??1??21??2?2?p2?p1A??12?11?1?????2??00?1212
?.……..1分
1?2P??1?21?2??1?11?,P??? .……..2分 1??11??2????能控标准型为x?01??0?x?u .……..4分 ????01??1?四、设系统为
试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10分） 解：
能控性分解： 能观测性分解： 传递函数为g(s)?4?520?LLL(2分) s?3s?3?五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统x??方法一：
解： x1?x2
??01?x的稳定性。（10分） ???1?1? 原点xe=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即
当x1?0，x2?0时， v(x)?0；当x1?0，x2?0时，v(x)?0，因此v(x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。
另选一个李雅普诺夫函数，例如： 为正定，而
为负定的，且当x??，有V(x)??。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。 方法二： 解：或设P???p11?p21p12? ?p22????
?0?1??p11则由AP?PA??I得 ????1?1??p12Tp12??p11??p22???p12p12??01???10???1?1???0?1? p22??????可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的 六、 （20分）线性定常系统的传函为
Y(s)s?4? U(s)(s?2)(s?1)（1）实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为??4,?3?，求反馈阵K。（5分）
（-10,-10）（2）试设计极点为全维状态观测器（5分）。
（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4分） （4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4分）
注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为： 解：（1）
Y(s)s?4s?4??2 U(s)(s?2)(s?1)s?3s?2&?系统的能控标准型实现为：X??01??0?X?u,y??41?X……1分 ?????2?3??1?系统完全可控，则可以任意配置极点……1分 令状态反馈增益阵为K??k1k2?……1分 则有A?BK???01?，则状态反馈闭环特征多项式为 ???k2?2?k1?3?又期望的闭环极点给出的特征多项式为：(s?4)(s?3)?s2?7s?12
由??(k1?3)??(k2?2)?s?7s?12可得到K22??410?……3分
（2）观测器的设计：
由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。……1分
现代控制理论试卷及答案总结
