第2讲 用样本估计总体
[考纲解读] 1.了解频率分布直方图的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自的特点．(重点) 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释． 3.会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．(难点) 4.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题． [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图或茎叶图估计总体，利用样本数字特征估计总体．题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型．频率分布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题.
1．用样本的频率分布估计总体分布
(1)频率分布：样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比，就是该01频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做□02频率分布． 数据的□03最大值与□04最(2)作频率分布直方图的步骤：①求极差，即一组数据中的□05组距与组数；③将□06数据分组；④列□07频率分布表；⑤画频小值的差；②决定□率分布直方图．
08频率/组距，09在频率分布直方图中，纵轴表示□数据落在各小组内的频率用□101. 各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于□(3)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线．
1
(4)茎叶图：统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
2．样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
(2)方差和标准差
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1－－－
方差：s2＝n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]， 标准差： s＝
1－2－2－2[?x1－x?＋?x2－x?＋…＋?xn－x?]. n
(3)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
3．各种统计表的优点与不足
3
1．概念辨析
(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．( )
(2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( )
(3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．( )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．小题热身
(1)(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 答案 B
解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.
(2)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 答案 A
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解析 由茎叶图可知，这组数据的中位数是2×(91＋92)＝91.5，平均数是8×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.
4
(3)如图所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20]内的频数是( )
A．50 B．40 C．30 D．14 答案 C
解析 因为[15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在[15,20]的频数为0.3×100＝30.故选C.
(4)已知一组数据87,89,90,91,93，则该组数据的方差是________． 答案 4
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解析 该组数据的平均值为5×(87＋89＋90＋91＋93)＝90，所以该组数据1
的方差为5×[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.
题型 一 样本数字特征的计算及应用
1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A．2.5 B．－2 C．2 D．－2.5 答案 C
解析 将105输入为165，多输入了60,60÷30＝2，所以求出的平均数与实
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2020年高考数学理科一轮复习讲义：第9章 统计与统计案例 第2讲 Word版含解析
